Question

【題目】將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片和．將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O．

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B（E），C,D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是 ．

（2）當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

（3）在圖③中，連接BO,AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠AFD=∠DCA（或相等）；（2）∠AFD=∠DCA（或成立）；（3）BO⊥AD．

【解析】

（1）要證∠AFD＝∠DCA，只需證△ABC≌△DEF即可；

（2）結(jié)論成立，先證△ABC≌△DEF，再證△ABF≌△DEC，得∠BAF＝∠EDC，推出∠AFD＝∠DCA；

（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA＝BD，點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD＝∠BDA，繼而證得∠OAD＝∠ODA，OA＝OD，點O在AD的垂直平分線上，即BO⊥AD．

（1）∠AFD＝∠DCA．證明如下：

∵AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴∠AFD＝∠DCA；

（2）∠AFD＝∠DCA（或成立），理由如下：

由（1）得：△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF，∴∠ABC﹣∠CBF＝∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF＝∠DEC．

在△ABF和△DEC中，∵，∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF＝∠EDC，∴∠BAC﹣∠BAF＝∠EDF﹣∠EDC，即∠FAC＝∠CDF．

∵∠AOD＝∠FAC+∠AFD＝∠CDF+∠DCA，∴∠AFD＝∠DCA；

（3）如圖，BO⊥AD．證明如下：

由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，得∠BAC＝∠BDF，BA＝BD，∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD＝∠BDA．

∵∠OAD＝∠BAD﹣∠BAC，∠ODA＝∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，點O在AD的垂直平分線上，∴直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD．