Question

【題目】綜合與探究

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0）．直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，且交直線BC于點(diǎn)D．拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，且橫坐標(biāo)為m（4＜m＜9），連接PD，過點(diǎn)P作PE⊥l于點(diǎn)E．

（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)△DEP與△BOC相似時(shí)，求m的值；

（3）如圖2，點(diǎn)M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，C，P．M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－ x+3，y＝﹣x2+x+3；（2）m的值為 或8；（3）存在點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），點(diǎn)M坐標(biāo)為（ ）

【解析】

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入可求拋物線解析式，求出B、C坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線BC的解析式

（2）分類討論相似關(guān)系，當(dāng)△DEP～△COB和當(dāng)△DEP～ABOC時(shí)，找好邊角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可求m的值．

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)范圍要求，所以點(diǎn)P只存在一種情況，利用全等關(guān)系，解方程等量關(guān)系獲得點(diǎn)M和P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝ax2+x+3中，得a＝﹣∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，y＝﹣x2+x+3

當(dāng)x＝0，得y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

當(dāng)y＝0時(shí)，得﹣y＝﹣x2+x+3＝0

解，得x1＝﹣1，x2＝9．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（9，0）

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，

把點(diǎn)B（9，0）和C（0，3）代入上式，

得 解得 ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x+3；

（2）在Rt△BOC中，OB＝9，OC＝3，∵PE⊥l于點(diǎn)E．∠PED＝∠BOC＝90°．

∵直線l為拋物線y＝﹣x2+x+3的對(duì)稱軸，

∴直線l為x＝﹣＝﹣÷[2×（﹣）]＝4

∴點(diǎn)D和E的橫坐標(biāo)為4

把x＝4代入y＝-x+3中，得y＝-x4+3＝．

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，）

∵點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，

∴設(shè)P（m，﹣m2+m+3），E（4，﹣m2+m+3）

∵4＜m＜9，且△DEP與△BOC相似

∴點(diǎn)E在點(diǎn)D上方，點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)．

∴DE＝﹣m2+m+3﹣＝﹣m2+m+，PE＝m﹣4

①當(dāng)△DEP～ABOC時(shí)，＝，

即＝

解得m1＝，m2＝（舍）

②當(dāng)△DEP～△COB時(shí)，＝，

即＝

解得m1＝8，m2＝﹣1（舍）

∴當(dāng)△DEP與△BOC相似時(shí)，m的值為 或8；

（3）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)在4與9之間

∴A、C、P、M組成的平行四邊形只有一種情況，如圖

可證△PMN≌△ACO（AAS）

∴OA＝MN＝1，PN＝CO＝3

設(shè)點(diǎn)M（m，-m+3）

則P（m+1，-m+3+3）

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入解析式，可解得m＝

∴存在點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），點(diǎn)M坐標(biāo)為（）.