【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(1,0),以OA為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC,點Dx軸正半軸上一動點(OD>1),連接BD,以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE,設(shè)M為正方形DBFE的中心,直線MAy軸于點N.如果定義:只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形.

(1)試找出圖1中的一個損矩形;

(2)試說明(1)中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上;

(3)隨著點D位置的變化,點N的位置是否會發(fā)生變化?若沒有發(fā)生變化,求出點N的坐標(biāo);若發(fā)生變化,請說明理由;

(4)在圖中,過點MMG⊥y軸于點G,連接DN,若四邊形DMGN為損矩形,求D點坐標(biāo).

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)N點的坐標(biāo)為(0,﹣1);(4)D點坐標(biāo)為(3,0).

【解析】

試題(1)根據(jù)題中給出的損矩形的定義,從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可;

2)證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可;

3)利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD,進而得到OA=ON,即可求得點N的坐標(biāo);

4)根據(jù)正方形的性質(zhì)及損矩形含有的直角,利用勾股定理求解.

(1)四邊形ABMD為損矩形;

(2)BD中點H,連結(jié)MH,AH

四邊形OABCBDEF是正方形

∴△ABD,△BDM都是直角三角形

∴HA=BD HM=BD

∴HA=HB=HM=HD=BD

損矩形ABMD一定有外接圓

(3)∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H

MAD =MBD

四邊形BDEF是正方形

MBD=45°

MAD=45°

OAN=45°

∵OA=1

∴ON=1

∴N點的坐標(biāo)為(0-1

(4) 延長ABMG于點P,過點MMQ⊥軸于點Q

設(shè)MG=,則四邊形APMQ為正方形

∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1

∵△MBP≌△MDQ

∴DQ=BP=CG=-2

∴MN2

ND2

MD2

四邊形DMGN為損矩形

=2.5=1(舍去)

∴OD=3

∴D點坐標(biāo)為(3,0).

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3)在圖上作出點C,D,并順次連接成四邊形ABCD

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