【題目】定義:我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡(滿足條件的所有點(diǎn)所組成的圖形)叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(1)已知拋物線的焦點(diǎn)F(0, ),準(zhǔn)線l: ,求拋物線的解析式;
(2)已知拋物線的解析式為:y=x2﹣n2 , 點(diǎn)A(0, )(n≠0),B(1,2﹣n2),P為拋物線上一點(diǎn),求PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若(2)中拋物線的頂點(diǎn)為C,拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是D、E,過(guò)C、D、E三點(diǎn)作⊙M,⊙M上是否存在定點(diǎn)N?若存在,求出N點(diǎn)坐標(biāo)并指出這樣的定點(diǎn)N有幾個(gè);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線上有一點(diǎn)(x,y),

由定義知:x2+(y﹣ 2=|y+ |2

解得y=ax2;


(2)

解:如圖1,由(1)得拋物線y=x2的焦點(diǎn)為(0, ),準(zhǔn)線為y=﹣ ,

∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2個(gè)單位所得,

∴其焦點(diǎn)為A(0, ﹣n2),準(zhǔn)線為y=﹣ ﹣n2,

由定義知P為拋物線上的點(diǎn),則PA=PH,

∴PA+PH最短為P、B、A共線,此時(shí)P在P′處,

∵x=1,

∴y=1﹣n2<2﹣n2

∴點(diǎn)B在拋物線內(nèi),

∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣(﹣ ﹣n2)= ,

∴PA+PB的最小值為 ,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1﹣n2);


(3)

解:由(2)知E(|n|,0),C(0,n2),

設(shè)OQ=m(m>0),則CQ=QE=n2﹣m,

在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2,

解得m= ,

則QC= + =QN,

∴ON=QN﹣m=1,

即點(diǎn)N(0,1),

故AM過(guò)定點(diǎn)N(0,1).


【解析】(1)直接根據(jù)新定義即可求出拋物線的解析式;(2)首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程,根據(jù)PA+PH最短時(shí),P、B、A共線,據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);(3)設(shè)OQ=m(m>0),則CQ=QE=n2﹣m,在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2 , 進(jìn)而求出ON是定值,據(jù)此作出判斷.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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解決問(wèn)題:① 在無(wú)數(shù)組勾股數(shù)中,是否存在三個(gè)連續(xù)偶數(shù)能組成勾股數(shù)?

答: ,若存在,試寫出一組勾股數(shù): .

在無(wú)數(shù)組勾股數(shù)中,是否還存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù)?若存在,求出勾股數(shù),若不存在,說(shuō)明理由.

在無(wú)數(shù)組勾股數(shù)中,是否存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù)?若存在,求出勾股數(shù),若不存在,說(shuō)明理由.

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