Question

【題目】定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡（滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)所組成的圖形）叫做拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．
（1）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（0， ），準(zhǔn)線(xiàn)l： ，求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）已知拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣n2 ， 點(diǎn)A（0， ）（n≠0），B（1，2﹣n2），P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，求PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若（2）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C，拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是D、E，過(guò)C、D、E三點(diǎn)作⊙M，⊙M上是否存在定點(diǎn)N？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)并指出這樣的定點(diǎn)N有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)（x，y），

由定義知：x2+（y﹣ ）2=|y+ |2，

解得y=ax2；

（2）

解：如圖1，由（1）得拋物線(xiàn)y=x2的焦點(diǎn)為（0， ），準(zhǔn)線(xiàn)為y=﹣ ，

∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2個(gè)單位所得，

∴其焦點(diǎn)為A（0， ﹣n2），準(zhǔn)線(xiàn)為y=﹣ ﹣n2，

由定義知P為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，則PA=PH，

∴PA+PH最短為P、B、A共線(xiàn)，此時(shí)P在P′處，

∵x=1，

∴y=1﹣n2＜2﹣n2，

∴點(diǎn)B在拋物線(xiàn)內(nèi)，

∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣（﹣ ﹣n2）= ，

∴PA+PB的最小值為 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1﹣n2）；

（3）

解：由（2）知E（|n|，0），C（0，n2），

設(shè)OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n2﹣m，

在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2，

解得m= ﹣ ，

則QC= + =QN，

∴ON=QN﹣m=1，

即點(diǎn)N（0，1），

故AM過(guò)定點(diǎn)N（0，1）．

【解析】（1）直接根據(jù)新定義即可求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）首先求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線(xiàn)方程，根據(jù)PA+PH最短時(shí)，P、B、A共線(xiàn)，據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n2﹣m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2 ， 進(jìn)而求出ON是定值，據(jù)此作出判斷．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．