Question

【題目】（1）如圖①，在中，，，，則的值是_______．

（2）如圖②，在正方形中，，點是平面上一動點，且，連接，在上方作正方形，求線段的最大值．

問題解決：（3）如圖③，半徑為6，在中，，點在上，點在內，且．當點在圓上運動時，求線段的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）3

【解析】

（1）根據勾股定理算出AC，再根據正切的定義可得結果；

（2）根據題意得出當三點共線，且在的延長線上時，線段取得最大值，即此時CF最大；

（3）作的外接圓，連接，設交劣弧于點，則，可得當點與點重合時，線段取得最小值，延長交圓于點，連接，證明得出，從而可得，根據，在△ABF中，利用勾股定理列出方程，解得AC2，在△AOC中，求出OC即可.

解：（1）∵，，，

∴AC=,

∴tanA=；

（2），點為定點，

點在以為圓心，長為半徑的圓上運動.

當三點共線，且在的延長線上時，線段取得最大值，

在正方形中，，

最大=5+2=7，

四邊形是正方形，

，

線段的最大值為；

（3）如圖①，延長交于點，連接.

在中，且，

的大小不變.

又點在上，點在內，且的半徑為6，

的大小，弦的長均為定值.

作的外接圓，則點在劣弧上（不包括端點），

如圖②，連接，設交劣弧于點，則，且當點與點重合時，線段取得最小值.

延長交圓于點，連接，

，

經過點，

，點在上，

，

，

又，

，

，

又，

，

，

，設，則，，

，

又，

在中，，解得，

，

在中，，

線段的最小值是3.