【題目】如圖,以點O為圓心,OE為半徑作優(yōu)弧EF,連接OE,OF,且OE3,∠EOF120°,在弧EF上任意取點A,B(點B在點A的順時針方向)且使AB2,以AB為邊向弧內(nèi)作正三角形ABC

1)發(fā)現(xiàn):不論點A在弧上什么位置,點C與點O的距離不變,點C與點O的距離是   ;點C到直線EF的最大距離是   

2)思考:當(dāng)點B在直線OE上時,求點COE的距離,在備用圖1中畫出示意圖,并寫出計算過程.

3)探究:當(dāng)BCOE垂直或平行時,直接寫出點COE的距離.

【答案】1;(2)示意圖見解析,點COE的距離為;(3)當(dāng)BCOE垂直或平行時,點COE的距離為

【解析】

1)連接OB,OA,再連接OC并延長交AB于點G, 易知GO為線段AB的垂直平分線,通過勾股定理分別計算CG,GO的長,得到CO=GO-CG為定值即可;延長COEF于點H,當(dāng)COEF時,點C到直線EF的距離最大,最大距離為CH的長,且CH=CO+OH,只需計算OH即可求出最大距離CH的長;

2)過點COE的垂線,垂足為M,易證△OCM∽△OBG,得到,從而得到CM的長,即為點COE的距離;

3)因為OC長不變,已求得,當(dāng)BCOE垂直或平行時,過點COE的垂線,利用OC不變,通過解相應(yīng)的直角三角形,得到點COE的距離.

解:(1)如圖1,連接OAOB、OC,延長OCAB于點G,

在正三角形ABC中,ABBCAC2

OAOB,ACBC

OC垂直平分AB,

AGAB1

∴在RtAGC中,由勾股定理得:CG

RtAGO中,由勾股定理得:OG,

OC

如圖2,延長COEF于點H,

當(dāng)COEF時,點C到直線EF的距離最大,最大距離為CH的長,

OEOFCOEF,

CO平分∠EOF,

∵∠EOF120°,

∴∠EOHEOF60°,

RtEOH中,cosEOH,

cos60°=,

OH

CHCO+OH,

∴點C到直線EF的最大距離是

故答案為:;

2)如圖3,當(dāng)點B在直線OE上時,過點COE的垂線,垂足為M

OAOBCACB可知,

O,C都在線段AB的垂直平分線上,

過點CAB的垂線,垂足為G

GAB中點,直線CG過點O

∴由∠COM=∠BOG,∠CMO=∠BGO

∴△OCM∽△OBG,

,

CM,

∴點COE的距離為

3)如圖4,當(dāng)BCOE時,設(shè)垂足為點M

∵∠EOF120°,

∴∠COM180°﹣120°=60°,

∴在RtCOM中,sinCOM,

sin60°=,

CMCO)=

如圖5,當(dāng)BCOE時,過點CCNOE,垂足為N,

BCOE

∴∠CON=∠GCB30°,

∴在RtCON中,sinCON,

sin30°=

CNCO)=;

綜上所述,當(dāng)BCOE垂直或平行時,點COE的距離為

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