【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax22ax3aa0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),經(jīng)過點(diǎn)A的直線lykx+by軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD4AC

1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo),并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式(其中k、b用含a的式子表示).

2)點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,以點(diǎn)A、D、PQ為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形?若能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)A(﹣10),yax+a;(2yx2x;(3)以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,)或(1,4).

【解析】

1)由拋物線yax22ax3aa0)與x軸交于兩點(diǎn)A、B,求得A點(diǎn)的坐標(biāo),作DFx軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式.

2)設(shè)點(diǎn)Em,ax22ax3a),知HE=(ax+a)﹣(ax22ax3a)=﹣ax2+3ax+4a,根據(jù)直線和拋物線解析式求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo),由SADESAEH+SDEH列出函數(shù)解析式,根據(jù)最值確定a的值即可;

3)分以AD為矩形的對(duì)角線和以AD為矩形的邊兩種情況利用矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

解:(1)令y0,則ax22ax3a0,

解得x1=﹣1,x23

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),

A(﹣1,0),

如圖1,作DFx軸于F,

DFOC,

,

CD4AC

OA1,

OF4

D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

代入yax22ax3a得,y5a,

D4,5a),

AD坐標(biāo)代入ykx+b

解得

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為yax+a

2)如圖2,過點(diǎn)EEHy軸,交直線l于點(diǎn)H,

設(shè)Ex,ax22ax3a),則Hx,ax+a).

HE=(ax+a)﹣(ax22ax3a)=﹣ax2+3ax+4a,

x=﹣1x4,

即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4

SADESAEH+SDEH(﹣ax2+3ax+4a

∴△ADE的面積的最大值為a,

解得:,

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2x

3)已知A(﹣1,0),D4,5a).

yax22ax3a,

∴拋物線的對(duì)稱軸為x1,

設(shè)P1,m),

AD為矩形的邊,且點(diǎn)Q在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),則ADPQ,且ADPQ,

Q(﹣421a),

m21a+5a26a,則P126a),

∵四邊形ADPQ為矩形,

∴∠ADP90°,

AD2+PD2AP2,

52+5a2+142+26a5a2=(﹣112+26a2,

a2,

a0,

a

P11,),

AD為矩形的邊,且點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),則ADPQ,且ADPQ

Q4,5a),

此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,不符合題意,舍去;

AD是矩形的一條對(duì)角線,則ADPQ互相平分且相等.

xD+xAxP+xQ,yD+yAyP+yQ,

xQ2,

Q2,﹣3a).

yP8a

P1,8a).

∵四邊形APDQ為矩形,

∴∠APD90°

AP2+PD2AD2

∴(﹣112+8a2+142+8a5a252+5a2

a2,

a0,

a

P214

綜上所述,以點(diǎn)A、DP、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1)或(1,4).

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