Question

【題目】我們學(xué)過正多邊形及其性質(zhì)，了解了正多邊形各邊相等、各內(nèi)角相等、具有軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變．．．．下面我們繼續(xù)探究正五邊形相關(guān)線段及角的關(guān)系：

如圖1，正五邊形中，

連接，并作，則 度；

連接交于點，求證：四邊形是菱形；

如圖2，是一個斜網(wǎng)格圖， 每個小菱形的較小內(nèi)角是，請利用一把角尺(只能畫直角和直線，不能度量，可以用三角板替代)在網(wǎng)格圖中畫出以為一邊的正五邊形(保留作圖痕跡)．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由正五邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°，BA=BC，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求∠CAF=90°-∠ACF=18°；
（2）由正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠ACD=72°，∠DEB=72°，由平行線的判定可證BE∥CD，AC∥ED，可得四邊形GCDE是平行四邊形，由菱形的判定可得結(jié)論；
（3）如圖所示：先畫BC邊，通過連接對角線作出AB及BC的中點，過AB中點作AB的垂線交與過點A和BC的平行線交于D，過BC中點作BC的垂線交與過點C和AB的平行線交于E，順次連接各點，所得圖形為所求．

（1）∵正五邊形 ABCDE，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°，BA=BC，
∴∠BCA=36°，
∴∠ACF=72°，
∴∠CAF=90°-∠ACF=18°，
故答案為：18；

（2）證明：如圖，

是正五邊形，

，，

∴，，

四邊形是平行四邊形

又

是菱形．

（3）如圖所示：

五邊形ABCDE就是所用求作的正五邊形。

【點晴】

本題是考查了正五邊形的性質(zhì)，考查了菱形的判定和性質(zhì)，作圖等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．