Question

【題目】已知，如圖拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形PAC面積的最大值．

（3）在（2）的條件下，△PAC的面積為S，其中S為整數(shù)的點(diǎn)P作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，則所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為　 　

（4）在（2）的條件下，以PA為邊向直線AC右上側(cè)作正方形APHG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)H或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣6；

（2）當(dāng)x＝﹣時(shí)，S的最大值為：；

（3）4；

（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，﹣5）或（，）．

【解析】

（1）先確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解；

（2）先求出直線AC的解析式，再過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由于△PAC面積S＝PH×OA，且OA易求，只需用含x的代數(shù)式表示出PH的長即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果；

（3）根據(jù)（2）題的關(guān)系式并結(jié)合x的范圍逐一驗(yàn)證S是否為整數(shù)即得答案；

（4）分點(diǎn)G在y軸上和點(diǎn)H在y軸上兩種情況，利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形分別求解即可.

解：（1）OC＝3OB＝6，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，﹣6），則拋物線為y＝ax2+3ax﹣6，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝4a+6a﹣6，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣6；

（2）y＝x2+x﹣6，令y＝0，則x＝﹣5或2，故點(diǎn)A（﹣5，0），

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：直線AC的解析式為：y＝﹣ x﹣6，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2+x﹣6），點(diǎn)H（x，﹣x﹣6），

△PAC面積S＝PH×OA＝＝﹣x2﹣x，

∵﹣<0，故S有最大值， 當(dāng)x＝﹣時(shí)，S的最大值為：；

（3）△PAC面積S＝﹣x2﹣x，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AC下方拋物線上的點(diǎn)，所以－5<x<0，

當(dāng)x＝﹣4時(shí)，S＝6；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，s＝9；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S=9；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，s＝6；

所以“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4，

故答案為4；

（4）如圖2左側(cè)圖，

①當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí)，作PR⊥x軸于點(diǎn)R，

∵∠GAO+∠PAO＝90°，∠PAO+∠APR＝90°，

∴∠APR＝∠GAO，

∵∠AOG＝∠PRA＝90°，AP＝AG，

∴△AOG≌△PRA（AAS），

∴OA＝PR＝5，

故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：﹣5，

則y＝x2+x﹣6＝﹣5，解得：x＝（不合題意的值已舍去），

故點(diǎn)P（，﹣5）；

②當(dāng)點(diǎn)H在y軸上時(shí)，圖2右側(cè)圖，同理可得：點(diǎn)P（，）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，﹣5）或（，）