【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線yax2+bx+8x軸相交于點A(﹣20)和點B4,0),與y軸相交于點C,頂點為點P.點D0,4)在OC上,聯(lián)結BC、BD

1)求拋物線的表達式并直接寫出點P的坐標;

2)點E為第一象限內拋物線上一點,如果COEBCD的面積相等,求點E的坐標;

3)點Q在拋物線對稱軸上,如果BCD∽△CPQ,求點Q的坐標.

【答案】1)點P的坐標為(1,9);(2)點E的坐標為(2,8);(3)點Q的坐標為(111)或(1,10).

【解析】

1)通過待定系數(shù)法代入A、B坐標即可求得解析式;

2)根據(jù)解析式可求得點C坐標(0,8),根據(jù)點E為第一象限內拋物線上一點設點E((x,﹣x2+2x+8)再根據(jù)SCOESBCD,可求得E點坐標.

3)根據(jù)點B、D的坐標可得到∠BDC135°,要滿足△BCD∽△CPQ,∠CPQ=135°或者∠PCQ=135°,通過點CP的坐標可得,∠PCM45°,所以∠MCQ=90°,Q在對稱軸上,此情況不成立,所以要滿足△BCD∽△CPQ,僅∠CPQ=135°,即QP點上方,可分兩類討論,代值即可求出Q點坐標.

1)將點A(﹣2,0),B40)代入yax2+bx+8,得:

解得:,

拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+8

∵y=﹣x2+2x+8=﹣(x12+9

P的坐標為(1,9).

2)當x0時,y=﹣x2+2x+88

C的坐標為(0,8).

設點E的坐標為(x,﹣x2+2x+8)(0x4),

∵SCOESBCD,

×8x×4×4,

解得:x2,

E的坐標為(2,8).

3)過點CCM∥x軸,交拋物線對稱軸于點M,如圖所示.

B40),點D04),

∴OBOD4,

∴∠ODB45°,BD4,

∴∠BDC135°

C0,8),點P1,9),

M的坐標為(1,8),

∴CMPM1,

∴∠CPM45°,CP,

Q在拋物線對稱軸上且在點P的上方,

∴∠CPQ∠CDB135°

∵△BCD∽△CPQ,

時,

解得:PQ2,

Q的坐標為(1,11);

時,

解得:PQ1,

Q的坐標為(1,10).

綜上所述,點Q的坐標為(1,11)或(110).

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3)在(2)的條件下,△PAC的面積為S,其中S為整數(shù)的點P好點,則存在多個好點,則所有好點的個數(shù)為   

4)在(2)的條件下,以PA為邊向直線AC右上側作正方形APHG,隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變,當頂點HG恰好落在y軸上時,直接寫出對應的點P的坐標.

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銷售單價x(元)

65

70

80

銷售量y(件)

55

50

40

1)求出yx之間的函數(shù)表達式;

2)若該商場獲得利潤為W元,試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式;銷售單價定為多少元時,商場可獲得最大利潤,最大利潤是多少?

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1)求拋物線的解析式

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(1)求:;的值.

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