【題目】1)如圖1,點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),已知PA3,PB4,PC5,求∠APB的度數(shù).

要直接求∠A的度數(shù)顯然很因難,注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù),因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi).

解:如圖2,作∠PAD60°使ADAP,連接PDCD,則△PAD是等邊三角形.

   ADAP3,∠ADP=∠PAD60°

∵△ABC是等邊三角形

ACAB,∠BAC60°∴∠BAP   

∴△ABP≌△ACD

BPCD4,   =∠ADC

∵在△PCD中,PD3,PC5,CD4PD2+CD2PC2

∴∠PDC   °

∴∠APB=∠ADC=∠ADP+PDC60°+90°=150°

2)如圖3,在△ABC中,ABBC,∠ABC90°,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA1,PB2PC3,求∠APB的度數(shù).

3)拓展應(yīng)用.如圖4,△ABC中,∠ABC30°,AB4,BC5,P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn),連接PAPB,PC,則PA+PB+PC的最小值為   

【答案】1PD,∠CAD,∠APB90;(2)∠APB135°;(3

【解析】

1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可解決問(wèn)題;

2)圖3中,把△PBCB點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA,利用勾股定理的逆定理證明∠APD=90°即可解決問(wèn)題;

3)如圖4中,將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△DBE,證明△ABP≌△DBE,則∠ABP=∠DBE,BD=AB=4,∠PBE=60°,BE=PEAP=DE,再證明∠DBC=90°,在Rt△BCD中,由勾股定理求出CD的長(zhǎng)度,即為PA+PB+PC的最小值.

1)如圖2,作∠PAD60°使ADAP,連接PD,CD,則△PAD是等邊三角形.

∴PDADAP3,∠ADP∠PAD60°

∵△ABC是等邊三角形

∴ACAB∠BAC60°,

∴∠BAP∠CAD,

∴△ABP≌△ACDSAS

∴BPCD4∠APB∠ADC

△PCD中,PD3,PC5CD4,PD2+CD2PC2

∴∠PDC90°

∴∠APB∠ADC∠ADP+∠PDC60°+90°150°

故答案為:PD,∠CAD∠APB,90

2)解:∵∠ABC90°BCAB,

△PBCB點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA,如圖3,

∴ADPC3BDBP2,

∵∠PBD90°

∴DPPB2∠DPB45°,

△APD中,AD3,PD2PA1,

∵12+(2)232

∴AP2+PD2BD2,

∴△APD為直角三角形,

∴∠APD90°

∴∠APB∠APD+∠DPB90°+45°135°

3)解:如圖4中,將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△DBE,連接EP,CD,

∴△ABP≌△DBE

∴∠ABP∠DBE,BDAB4,∠PBE60°,BEPEAPDE,

∴△BPE是等邊三角形

∴EPBP

∴AP+BP+PCPC+EP+DE

當(dāng)點(diǎn)D,點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)C共線(xiàn)時(shí),PA+PB+PC有最小值CD

∵∠ABC30°∠ABP+∠PBC

∴∠DBE+∠PBC30°

∴∠DBC90°

∴CD,

故答案為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,直線(xiàn)y=﹣3x+3x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與直線(xiàn)y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得PCB≌△BOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若拋物線(xiàn)與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F(xiàn)間拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn)),其橫坐標(biāo)為m.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的解析式;

(2)當(dāng)m為何值時(shí),MAB面積S取得最小值和最大值?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)求滿(mǎn)足∠MPO=POA的點(diǎn)M的坐標(biāo).

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1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1,并寫(xiě)出A1,B1C1的坐標(biāo);

2)請(qǐng)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2

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【題目】某中學(xué)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A型和B型課桌凳共200套,經(jīng)招標(biāo),購(gòu)買(mǎi)一套A型課桌凳比購(gòu)買(mǎi)一套B型課桌凳少用40元,,且購(gòu)買(mǎi)4A型和6B型課桌凳共需1820元。

1)求購(gòu)買(mǎi)一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元?

2)學(xué)校根據(jù)實(shí)際情況,要求購(gòu)買(mǎi)這兩種課桌凳總費(fèi)用不能超過(guò)40880元,并且購(gòu)買(mǎi)A型課桌凳的數(shù)量不能超過(guò)B型課桌凳的,求該校本次購(gòu)買(mǎi)A型和B型課桌凳共有幾種方案?哪種方案的總費(fèi)用最低?

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求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解,求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗(yàn),各類(lèi)方程的解法不盡相同,但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化”,把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,我們還可以解一些新的方程.

例如:解方程

解:移項(xiàng),得

兩邊平方,得

兩邊再平方,得

解這個(gè)方程得:

檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),原方程左邊,右邊

不是原方程的根;

當(dāng)時(shí),原方程左邊,右邊

原方程的根

原方程的根是

1)請(qǐng)仿照上述解法,求出方程的解;

2)如圖已知矩形草坪的長(zhǎng),寬,小華把一根長(zhǎng)為的繩子的一端固定在點(diǎn),從草坪邊沿走到點(diǎn)處,把長(zhǎng)繩段拉直并固定在點(diǎn),然后沿草坪邊沿走到點(diǎn)處,把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直,長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn),則

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A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

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【題目】拋物線(xiàn)yax2+bx+1的頂點(diǎn)為D,與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn),AB左,與y軸正半軸交于點(diǎn)C,當(dāng)△ABD和△OBC均為等腰直角三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí),b的值為( 。

A. 2 B. 2或﹣4 C. 2 D. 4

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