Question

【題目】（1）如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．

要直接求∠A的度數(shù)顯然很因難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)．

解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．

∴　 　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等邊三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝　 　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　 　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　 　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．

（3）拓展應(yīng)用．如圖4，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）PD，∠CAD，∠APB，90；（2）∠APB＝135°；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（2）圖3中，把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，利用勾股定理的逆定理證明∠APD=90°即可解決問(wèn)題；

（3）如圖4中，將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，證明△ABP≌△DBE，則∠ABP=∠DBE，BD=AB=4，∠PBE=60°，BE=PE，AP=DE，再證明∠DBC=90°，在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD的長(zhǎng)度，即為PA+PB+PC的最小值．

（1）如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．

∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等邊三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

∴∠BAP＝∠CAD，

∴△ABP≌△ACD（SAS）

∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝90°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．

（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，

∴把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖3，

∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，

∵∠PBD＝90°

∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，

在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，

∵12+(2)2＝32，

∴AP2+PD2＝BD2，

∴△APD為直角三角形，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．

（3）解：如圖4中，將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接EP，CD，

∴△ABP≌△DBE

∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，

∴△BPE是等邊三角形

∴EP＝BP

∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE

∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)C共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC有最小值CD

∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC

∴∠DBE+∠PBC＝30°

∴∠DBC＝90°

∴CD＝，

故答案為．