【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn):
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC, ∠BCD的度數(shù)是 ;線段BD,AC之間的數(shù)量關(guān)系是 .
類比探究:
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC,請(qǐng)問(wèn)(1)中的結(jié)論還成立嗎?;
拓展延伸:
(3)如圖3,在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,∠BDC=90°,若點(diǎn)P滿足PB=PC,∠BPC=90°,請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng)度.
【答案】(1)120°,BD=AC;(2)不成立,理由詳見(jiàn)解析;(3)或.
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系,在直角三角形BDE中通過(guò)BD與DE的關(guān)系,得到BD,AC之間的關(guān)系.
(2)類比(1)的解法,找線段之間的關(guān)系.
(3)分情況進(jìn)行討論,畫出符合題意得圖形進(jìn)行求解.
解:(1)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,設(shè)BC=m.
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,由BC=AB·tan30°,BC=AC·sin30°,得AC=2m,BC=m,
∵AC=AD,∠CAD=2×30°=60°,∴△ACD為等邊三角形,∴∠ACD=60°,CD=AC=2m,
∴∠BCD=60°×2=120°,在Rt△DEC中,∠DCE=180°-120°=60°,DC=2m,∴CE=CD·cos60°=m,DE=CE·tan60°=m,∴在Rt△BED中,BD==,
∴==,故BD=AC.故答案為:120°;BD=AC.
(2)不成立,理由如下:
設(shè)BC=n,在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=90°,∴BC=AB=m,AC=BC=n,
∵AC=AD,∠CAD=90°,∴△CAD為等腰直角三角形,∴∠ACD=45°,CD=AC= 2n,
∴∠BCD=2×45°=90°,在Rt△BCD中,BD==,
∴==,,故BD=AC.答案為:90°;BD=AC.故結(jié)論不成立.
(3)AP的長(zhǎng)為或.;解答如下:
∵PB=PC,∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上,∵∠BAC=∠BCP=90°,故A、B、C、P四點(diǎn)共圓,以線段BC的中點(diǎn)為圓心構(gòu)造⊙O,如圖4,圖5,分類討論如下:
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),如圖4,作PM⊥AC,垂足為M,設(shè)PM=x.
∵PB=PC,∠BPC=90°,∴△PBC為等腰直角三角形,∴∠PBC=45°,
∵∠PAC=∠PBC=45°,∴△AMP為等腰直角三角形,∴AM=PM=x,AP=PM=x,
在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,∴BC==,∴PC=BC·sin45°=,
在Rt△PMC中,∵∠PMC=90°,PM=x,PC=,CM=4-x,∴,
解得:,(舍),∴AP==;
②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí),如圖5,作PN⊥AB的延長(zhǎng)線,垂足為N,設(shè)PN=y.
同上可得PB=,△PAN為等腰三角形,∴AN=PN=y,∴BN=y-2,
在Rt△PNB中,∵∠PNB=90°,PN=y,BN=y-2,PB=,∴,
解得:,(舍),∴AP==.故AP的長(zhǎng)度為:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】墾利區(qū)在進(jìn)行“五城同創(chuàng)”的過(guò)程中,決定購(gòu)買A,B兩種樹(shù)對(duì)某路段進(jìn)行綠化改造,若購(gòu)買A種樹(shù)1棵,B種樹(shù)3棵,需要2250元;購(gòu)買A種樹(shù)2棵,B種樹(shù)5棵,需要3900元.
(1)求購(gòu)買A,B兩種樹(shù)每棵各需多少元?
(2)考慮到綠化效果,購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)不能少于48棵,且用于購(gòu)買這兩種樹(shù)的資金不低于52500元.若購(gòu)進(jìn)這兩種樹(shù)共100棵.問(wèn)有哪幾種購(gòu)買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于和B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C.
(1)求出反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P在軸上,且△APC的面積為5,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)根據(jù)圖象,直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了參加西部博覽會(huì),資陽(yáng)市計(jì)劃印制一批宣傳冊(cè).該宣傳冊(cè)每本共10頁(yè),由A、B兩種彩頁(yè)構(gòu)成.已知A種彩頁(yè)制版費(fèi)300元/張,B種彩頁(yè)制版費(fèi)200元/張,共計(jì)2400元.(注:彩頁(yè)制版費(fèi)與印數(shù)無(wú)關(guān))
(1)每本宣傳冊(cè)A、B兩種彩頁(yè)各有多少?gòu)垼?/span>
(2)據(jù)了解,A種彩頁(yè)印刷費(fèi)2.5元/張,B種彩頁(yè)印刷費(fèi)1.5元/張,這批宣傳冊(cè)的制版費(fèi)與印刷費(fèi)的和不超過(guò)30900元.如果按到資陽(yáng)展臺(tái)處的參觀者人手一冊(cè)發(fā)放宣傳冊(cè),預(yù)計(jì)最多能發(fā)給多少位參觀者?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為⊙的內(nèi)接三角形,為⊙的直徑,在線段上取點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),作,分別交、圓周于、,連接,已知.
(1)求證:為⊙的切線;
(2)已知,填空:
①當(dāng)__________時(shí),四邊形是菱形;
②若,當(dāng)__________時(shí),為等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)(k≠0)的圖像與一次函數(shù)y=-x+b的圖像在第一象限交于A、B兩點(diǎn),BC⊥x軸于點(diǎn)C,若△OBC的面積為2,且A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1.
(1)求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的表達(dá)式及直線AB與x軸交點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)D(t,0)(t>0),過(guò)點(diǎn)D作垂直于x軸的直線,在第一象限內(nèi)與一次函數(shù)y=-x+b的圖像相交于點(diǎn)P,與反比函數(shù)上的圖像相交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方,請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖像直接寫出此時(shí)t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量某廣告牌的寬度圖中線段MN的長(zhǎng),直線MN垂直于地面,垂足為點(diǎn)在地面A處測(cè)得點(diǎn)M的仰角為、點(diǎn)N的仰角為,在B處測(cè)得點(diǎn)M的仰角為,米,且A、B、P三點(diǎn)在一直線上請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬MN的長(zhǎng).
參考數(shù)據(jù):,,,,,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn),與軸相交于,兩點(diǎn),
(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,且位于軸的上方,將沿沿直線翻折得到,若點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上,求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn),點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)為等邊三角形時(shí),求直線的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若均為自然數(shù),則關(guān)于的方程的解共有( )個(gè)(表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù))
A.1B.2C.3D.4
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