Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為CD邊上一點，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．

(1)作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作⊙O(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，⊙O交邊AD于點F，連接BF，交AE于點G，若AE＝4，sin∠AGF＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）⊙O的半徑為.

【解析】

（1）作出相應的圖形，如圖所示；

（2）由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內角互補，再由AE與BE為角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據角平分線性質及等量代換得到∠AGF=∠AEB，根據sin∠AGF的值，確定出sin∠AEB的值，求出AB的長，即可確定出圓的半徑．

解：(1)作出相應的圖形，如圖所示(去掉線段BF即為所求)．

(2)∵AD∥BC，

∴∠DAB＋∠CBA＝180°.

∵AE與BE分別為∠DAB與∠CBA的平分線，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∴∠AEB＝90°.

∵AB為⊙O的直徑，點F在⊙O上，

∴∠AFB＝90°，∴∠FAG＋∠FGA＝90°.

∵AE平分∠DAB，

∴∠FAG＝∠EAB，∴∠AGF＝∠ABE，

∴sin∠ABE＝sin∠AGF＝＝.

∵AE＝4，∴AB＝5，

∴⊙O的半徑為.