Question

【題目】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD．

（1）求證：BE=CE；

（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BFCD是菱形，理由見解析；（3）CD=2．

【解析】

試題（1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；

（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結(jié)論；

（3）設(shè)DE=x，則根據(jù)CE2=DEAE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．

試題解析：（1）∵AD是直徑，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；

（2）四邊形BFCD是菱形．

∵AD是直徑，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四邊形BFCD是菱形；

（3）∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DEAE，設(shè)DE=x，∵BC=8，AD=10，

∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD==2．