Question

如圖，一條拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)C（8，0），A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，AB∥x軸，OA=5，AB=2．點(diǎn)E在線段OC上，作∠MEN=∠AOC，使∠MEN的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一邊交線段BC于點(diǎn)F，連接AF．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y＝－x²＋x；（2）（，0）；（3）（3，0）、（2，0）、（，0）.

試題分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax（x-8）（a≠0）．然后將點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求值即可；
（2）由相似三角形△AOE∽△ECF的對(duì)應(yīng)邊成比例求得線段OE的長(zhǎng)度，則易求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）需要分類討論：當(dāng)AE=EF、AF=EF和AE=AF時(shí)，分別求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．
試題解析：（1）拋物線中，AB∥OC，由對(duì)稱性可知有等腰梯形AOCB.
而OA＝5，AB＝2，OC＝8
則A（3，4），B（5，4）
拋物線的解析式是y＝－x²＋x
（2）可以證明△AOE∽△ECF
則，不妨設(shè)E（x，0），其中0≤x≤8，
由，整理得x²－8x＋12.5＝0，解得
從而點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）
（3）由(2)中相似還可知AO:EC＝AE:EF，若△AEF為等腰三角形，則有三種可能.

①當(dāng)EA＝EF時(shí)，有EC＝AO＝5，∴E（3，0）
②當(dāng)AE＝AF時(shí)，作AH⊥EF于H，有AE:EF＝5:6
∴EC＝AO＝6，
∴E（2，0）
③當(dāng)FA＝FE時(shí)，同理可得AE:EF＝6:5
∴EC＝AO＝，
∴E（，0）
綜上所述，符合要求的點(diǎn)E有三個(gè).
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.