Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)E在第一象限且四邊形ACBE為矩形．

（1）求∠BCE的度數(shù)；

（2）如圖2，F(xiàn)為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接CP、FP、BP、EF，M，N分別是線段CP，F(xiàn)P的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)△BCP面積最大，且MN+EF最小時(shí)，求PF的長(zhǎng)度；

（3）如圖3，將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜180°），點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，C'，直線A'C'與x軸交于點(diǎn)G，G在x軸正半軸上且OG=．線段KH在直線A'C'上平移（ K在H左邊），且KH=5，△KHC是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）PF=；（3）滿足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為K（， ）或（， ）或（， ）或（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）在Rt△OBC中，tan∠OBC=，推出∠OBC=30°，由四邊形ACBE是矩形，得出QB=QC，可得∠BCE=∠QBC=30°；

（2）如圖2中，作CD⊥y軸，FH⊥CD于H，EH′⊥CD于H′交BC于點(diǎn)F′，設(shè)P（m， ），根據(jù)S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC，構(gòu)建二次函數(shù)，由重合時(shí)的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，由CM=MP，FN=P，推出MN=CF，在Rt△FCH中，易知∠FCH=30°，FH=CF，得出FH=MN，進(jìn)而得出MN+EF=EF+FH，從而知F與F′H與H′重合時(shí)，MN+EF的值最小，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；

（3）如圖3中，作OM⊥KH與M，直線KH交y軸于點(diǎn)P，作CN⊥KH于N，，確定直線KH的解析式，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，分三種情況分別求解即可解決問(wèn)題.

試題解析：（1）如圖1中，設(shè)AB交CE于Q．

令y=0，得到x2﹣﹣3=0，

解得x=﹣或3，

∴A（﹣，0），B（3，0），

在Rt△OBC中，tan∠OBC==，

∴∠OBC=30°，

∵四邊形ACBE是矩形，

∴QB=QC，

∴∠BCE=∠QBC=30°．

（2）如圖2中，作CD⊥y軸，F(xiàn)H⊥CD于H，EH′⊥CD于H′交BC于F′．

設(shè)P（m， m2﹣m﹣3），

S△PBC=S△POC+S△POB﹣S△OBC=×3×m+×3×（﹣m2+m+3）﹣×3×3

=﹣m2+m

=﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴m=時(shí)，△PBC的面積最大，此時(shí)P（，﹣），

∵CM=MP，F(xiàn)N=NP，

∴MN=CF，

在Rt△FCH中，易知∠FCH=30°，

∴FH=CF，

∴FH=MN，

∴MN+EF=EF+FH，

∴當(dāng)F與F′重合，H與H′重合時(shí)，MN+EF的值最小．

易知E（2，3），F(xiàn)′（2，﹣1），

∴PF==．

（3）如圖3中，作OM⊥KH于M，直線KH交y軸于P，作CN⊥KH于N．

在Rt△OMG中，易知，OM=，OM=，

∴MG==2，

∵tan∠POG==，

∴=，

∴OP=，

∴直線PG的解析式為y=﹣x+，

∵CN⊥PG，

∴直線CN的解析式為y=x﹣3，

由，解得，

∴N（，），

①當(dāng)CK=CH時(shí)，NK=NH=，

點(diǎn)N向上平移個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位得到K，

∴K（，）．

②當(dāng)CK=KH時(shí)，設(shè)K（m，﹣m+），

∴m2+（﹣m++3）2=52，

解得m=，

∴K（，）或（，），

③當(dāng)CH=KH=5時(shí)，同法可得H（，）或（，），

點(diǎn)H向上平移3個(gè)單位，向左平移4個(gè)單位得到K，

∴K（，）或（，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為K（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．