【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)E在第一象限且四邊形ACBE為矩形.
(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)如圖2,F(xiàn)為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),連接CP、FP、BP、EF,M,N分別是線段CP,F(xiàn)P的中點(diǎn),連接MN,當(dāng)△BCP面積最大,且MN+EF最小時(shí),求PF的長(zhǎng)度;
(3)如圖3,將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α(0°<α<180°),點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',C',直線A'C'與x軸交于點(diǎn)G,G在x軸正半軸上且OG=.線段KH在直線A'C'上平移( K在H左邊),且KH=5,△KHC是否能成為等腰三角形?若能,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)K的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)30°;(2)PF=;(3)滿足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為K(, )或(, )或(, )或(, )或(, ).
【解析】試題分析:(1)在Rt△OBC中,tan∠OBC=,推出∠OBC=30°,由四邊形ACBE是矩形,得出QB=QC,可得∠BCE=∠QBC=30°;
(2)如圖2中,作CD⊥y軸,FH⊥CD于H,EH′⊥CD于H′交BC于點(diǎn)F′,設(shè)P(m, ),根據(jù)S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC,構(gòu)建二次函數(shù),由重合時(shí)的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo),由CM=MP,FN=P,推出MN=CF,在Rt△FCH中,易知∠FCH=30°,FH=CF,得出FH=MN,進(jìn)而得出MN+EF=EF+FH,從而知F與F′H與H′重合時(shí),MN+EF的值最小,求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可;
(3)如圖3中,作OM⊥KH與M,直線KH交y軸于點(diǎn)P,作CN⊥KH于N,,確定直線KH的解析式,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),分三種情況分別求解即可解決問題.
試題解析:(1)如圖1中,設(shè)AB交CE于Q.
令y=0,得到x2﹣﹣3=0,
解得x=﹣或3,
∴A(﹣,0),B(3,0),
在Rt△OBC中,tan∠OBC==,
∴∠OBC=30°,
∵四邊形ACBE是矩形,
∴QB=QC,
∴∠BCE=∠QBC=30°.
(2)如圖2中,作CD⊥y軸,F(xiàn)H⊥CD于H,EH′⊥CD于H′交BC于F′.
設(shè)P(m, m2﹣m﹣3),
S△PBC=S△POC+S△POB﹣S△OBC=×3×m+×3×(﹣m2+m+3)﹣×3×3
=﹣m2+m
=﹣(m﹣)2+,
∵﹣<0,
∴m=時(shí),△PBC的面積最大,此時(shí)P(,﹣),
∵CM=MP,F(xiàn)N=NP,
∴MN=CF,
在Rt△FCH中,易知∠FCH=30°,
∴FH=CF,
∴FH=MN,
∴MN+EF=EF+FH,
∴當(dāng)F與F′重合,H與H′重合時(shí),MN+EF的值最。
易知E(2,3),F(xiàn)′(2,﹣1),
∴PF==.
(3)如圖3中,作OM⊥KH于M,直線KH交y軸于P,作CN⊥KH于N.
在Rt△OMG中,易知,OM=,OM=,
∴MG==2,
∵tan∠POG==,
∴=,
∴OP=,
∴直線PG的解析式為y=﹣x+,
∵CN⊥PG,
∴直線CN的解析式為y=x﹣3,
由,解得,
∴N(,),
①當(dāng)CK=CH時(shí),NK=NH=,
點(diǎn)N向上平移個(gè)單位,向左平移2個(gè)單位得到K,
∴K(,).
②當(dāng)CK=KH時(shí),設(shè)K(m,﹣m+),
∴m2+(﹣m++3)2=52,
解得m=,
∴K(,)或(,),
③當(dāng)CH=KH=5時(shí),同法可得H(,)或(,),
點(diǎn)H向上平移3個(gè)單位,向左平移4個(gè)單位得到K,
∴K(,)或(,),
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)為K(,)或(,)或(,)或(,)或(,).
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