【題目】已知:正方形ABCF中,E為BC中點,點D在CF上,AB=4,CD=1.
(1)判斷△AED的形狀,并證明;
(2)AC交DE于點N,M在AE上,且滿足BM2﹣ME2=EN2﹣CN2,求證:BM⊥AC;
(3)若△APE是以AE為斜邊的等腰直角三角形,直接寫出BP的長.
【答案】(1)△AED是直角三角形,證明見解析;(2)證明見解析;(3)BP=或.
【解析】
(1)根據(jù)△AED是直角三角形,并通過AE2+DE2=AD2來進行判斷;
(2)由題意延長BM交AC于H,延長NE到G,使EG=EN,連接BG、MG,并通過構(gòu)造ME是線段GN的垂直平分線,可得MG=MN,進而通過BM2﹣ME2=EN2﹣CN2可得BM2+CN2=MG2,從而得到∠MBG=90°;由構(gòu)造所得△BEG≌△CEN,從而證明BG∥AC,所以∠AHB=90°,從而證明BM⊥AC;
(3)根據(jù)題意,運用矩形和正方形性質(zhì)以及分類討論的思維分兩種情形分別進行分析求解即可.
解:(1)△AED是直角三角形.
證明:∵正方形ABCF,AB=4,
∴BC=CF=AF=AB=4,∠B=∠C=∠F=90°,
∵CD=1,
∴DF=CF﹣CD=3,
∵E為BC中點,
∴BE=CE=2,
在Rt△ABE中,∠B=90°,由勾股定理得AE2=AB2+BE2=20
在Rt△CDE中,∠C=90°,由勾股定理得DE2=CE2+CD2=5
在Rt△AFD中,∠F=90°,由勾股定理得AD2=AF2+DF2=25
∵AE2+DE2=20+5=25=AD2,
∴△AED是直角三角形.
(2)如圖,延長BM交AC于H,延長NE到G,使EG=EN,連接BG、MG
由(1)知,∠AED=90°,
∴ME⊥GN,
又∵EG=EN,
∴MG=MN,
∵BM2﹣ME2=EN2﹣CN2,
∴BM2+CN2=EN2+ME2=MN2,
∴BM2+CN2=MG2,
∴△BMG是直角三角形,且∠MBG=90°,
∵E為BC中點,
∴BE=CE,
在△BEG和△CEN中
,
∴△BEG≌△CEN(SAS),
∴∠GBE=∠NCE,
∴BG∥AC,
∴∠AHB=∠MBG=90°,
∴BM⊥AC.
(3)BP=3或.
解析如下:
如圖,以AE為斜邊作等腰直角三角形APE,連接BP.作PM⊥AB于M,作PN⊥BE于N,
∴∠AMP=∠PNE=90°,PA=PE,
∵∠ABE=∠APE=90°,
∴∠BAP+∠BEP=180°,
∵∠BEP+∠PEN=180°,
∴∠BAP=∠PEN,
在△AMP和△ENP中
,
∴△AMP≌△ENP(AAS),
∴AM=EN,PM=PN,
∵∠ABE=∠PMB=∠PNE=90°,
∴四邊形PMBN是矩形,
又∵PM=PN,
∴四邊形PMBN是正方形,
∴BM=BN,
∵BM+BN=AB﹣AM+BE+EN=AB+BE=6,
∴BM=BN=3,
∵BP是正方形PMBN的對角線,
∴BPBM=3,
當點P在直線AE的下方時,同法可得BP'BM',
綜上所述滿足條件的BP的長為3或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線的解析表達式為,且與軸交于點.直線經(jīng)過點,直線交于點.
(1)求點的坐標;
(2)求直線的解析表達式;
(3)在軸上求作一點,使的和最小,直接寫出的坐標.
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【題目】多好佳水果店在批發(fā)市場購買某種水果銷售,第一次用1500元購進若干千克,并以每千克9元出售,很快售完.由于水果暢銷,第二次購買時,每千克的進價比第一次提高了10%,用1694元所購買的水果比第一次多20千克,以每千克10元售出100千克后,因出現(xiàn)高溫天氣,水果不易保鮮,為減少損失,便降價45%售完剩余的水果.
(1)第一次水果的進價是每千克多少元?
(2)該水果店在這兩次銷售中,總體上是盈利還是虧損?盈利或虧損了多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜邊AB上的中線,將△BCD沿直線CD翻折至△ECD的位置,連接AE.若DE∥AC,計算AE的長度等于_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,禁止捕魚期間,某海上稽查隊在某海域巡邏,上午某一時刻在A處接到指揮部通知,在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船,正在沿南偏東75°方向以每小時10海里的速度航行,稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā),在C處成功攔截捕魚船,則巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間是( 。
A. 1小時 B. 2小時 C. 3小時 D. 4小時
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【題目】一家食品公司將一種新研發(fā)的食品免費送給一些人品嘗,并讓每個人按A(不喜歡)、B(一般)、C(比較喜歡)、D(非常喜歡)四個等級對食品進行評價,圖1和圖2是該公司采集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查的人數(shù)為 人;
(2)圖1中,a = ,C等級所占的圓心角的度數(shù)為 度;
(3)請直接在圖中補全條形統(tǒng)計圖.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某二元一次方程組的解是(m為常數(shù)).若將看作平面直角坐標系中一個點P的橫坐標,y看作點P的縱坐標,下列4種說法:
①P(x,y)一定不在第三象限;
②點P(x,y)可能是坐標原點;
③點P(x,y)的縱坐標y隨橫坐標x增大而增大;
④點P(x,y)的縱坐標y隨橫坐標x增大而減。
其中,正確的是_______.
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