【題目】已知:正方形ABCF中,EBC中點,點DCF上,AB=4CD=1

1)判斷△AED的形狀,并證明;

2ACDE于點N,MAE上,且滿足BM2ME2=EN2CN2,求證:BMAC

3)若△APE是以AE為斜邊的等腰直角三角形,直接寫出BP的長.

【答案】1)△AED是直角三角形,證明見解析;(2)證明見解析;(3BP=

【解析】

1)根據(jù)△AED是直角三角形,并通過AE2+DE2AD2來進行判斷;

2)由題意延長BMACH,延長NEG,使EGEN,連接BGMG,并通過構(gòu)造ME是線段GN的垂直平分線,可得MGMN,進而通過BM2ME2EN2CN2可得BM2+CN2MG2,從而得到∠MBG90°;由構(gòu)造所得△BEG≌△CEN,從而證明BGAC,所以∠AHB90°,從而證明BMAC

3)根據(jù)題意,運用矩形和正方形性質(zhì)以及分類討論的思維分兩種情形分別進行分析求解即可.

解:(1△AED是直角三角形.

證明:正方形ABCF,AB=4

∴BC=CF=AF=AB=4,∠B=∠C=∠F=90°,

∵CD=1,

∴DF=CFCD=3,

∵EBC中點,

∴BE=CE=2,

Rt△ABE中,∠B=90°,由勾股定理得AE2=AB2+BE2=20

Rt△CDE中,∠C=90°,由勾股定理得DE2=CE2+CD2=5

Rt△AFD中,∠F=90°,由勾股定理得AD2=AF2+DF2=25

∵AE2+DE2=20+5=25=AD2,

∴△AED是直角三角形.

2)如圖,延長BMACH,延長NEG,使EG=EN,連接BGMG

由(1)知,∠AED=90°,

∴ME⊥GN,

∵EG=EN,

∴MG=MN

∵BM2ME2=EN2CN2,

∴BM2+CN2=EN2+ME2=MN2,

∴BM2+CN2=MG2,

∴△BMG是直角三角形,且∠MBG=90°

∵EBC中點,

∴BE=CE,

△BEG△CEN

∴△BEG≌△CEN(SAS),

∴∠GBE=∠NCE

∴BG∥AC,

∴∠AHB=∠MBG=90°,

∴BM⊥AC.

3BP=3

解析如下:

如圖,以AE為斜邊作等腰直角三角形APE,連接BP.作PM⊥ABM,作PN⊥BEN,

∴∠AMP=∠PNE=90°PA=PE,

∵∠ABE=∠APE=90°,

∴∠BAP+∠BEP=180°,

∵∠BEP+∠PEN=180°

∴∠BAP=∠PEN,

△AMP△ENP

∴△AMP≌△ENP(AAS),

∴AM=EN,PM=PN,

∵∠ABE=∠PMB=∠PNE=90°

四邊形PMBN是矩形,

∵PM=PN,

四邊形PMBN是正方形,

∴BM=BN,

∵BM+BN=ABAM+BE+EN=AB+BE=6,

∴BM=BN=3,

∵BP是正方形PMBN的對角線,

∴BPBM=3

當點P在直線AE的下方時,同法可得BP'BM',

綜上所述滿足條件的BP的長為3

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