【題目】如圖,四邊形是正方形,點是的中點,,交正方形外角的平分線于,連接、、,求證:
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是等腰直角三角形.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)取AB中點M,連接ME,利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì),證得△AME≌△ECF,得出結(jié)論;
(2)利用(1)圖,△AEF是等腰直角三角形,∠2=∠4,∠ACF=∠B,證得結(jié)論;
(3)設(shè)正方形ABCD邊長為2a,則BE=a,過F作FN⊥BC的延長線于N,FP⊥CD于P,證得四邊形PCNF是矩形,△FCN是等腰直角三角形,△FNE≌△EBA(AAS),得到FN=BE=a,進(jìn)而得到DC=FC,即可得到△DFC是等腰直角三角形.
(1)如圖(1),取AB中點M,連接ME,則AM=BM=BE=CE=BC,∴在Rt△BME中,∠BME=∠BEM=45°,∴∠AME=135°,∠1+∠2=45°.
∵∠AEF=90°,∴∠1+∠3=45°,∴∠2=∠3.
∵CF是正方形外角的平分線,∴∠DCF=×90°=45°,∴∠ECF=90°+45°=∠AME.
在△AME和△ECF中,∵,∴△AME≌△ECF(ASA),∴AE=EF.
(2)如圖(1).∵∠AEF=90°,AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠EAF=45°,即∠4+∠5=45°.
∵AC為正方形ABCD的對角線,∴∠BAC=45°,即∠2+∠5=45°,∴∠2=∠4.
∵∠DCF=∠DCA=×90°=45°,∴∠ACF=45°+45°=90°=∠B,∴△ABE∽△ACF.
(3)如圖(2),設(shè)正方形ABCD邊長為2a,則BE=a,AE=EF=a.
∵△AEF是等腰直角三角形,∴AF=AE=a.
過F作FN⊥BC的延長線于N,FP⊥CD于P,則四邊形PCNF是矩形,∠FNE=90°=∠B.
∵∠FCN=45°,∴△CNF是等腰直角三角形,∴CN=FN.
又由(1)知,∠3=∠2,EF=AE.在△FNE和△EBA中,∵,∴△FNE≌△EBA(AAS),∴FN=BE=a,∴PC=PF=CN=a,∴DP=a,∴DF==,∴DC=FC.
∵∠DCF=45°,∴∠CDF=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是等腰直角三角形.
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【題目】下面是“求作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,鈍角∠AOB.
求作:∠AOB的角平分線.
作法:
①在OA和OB上,分別截取OD、OE,使OD=OE;
②分別以D、E為圓心,大于DE的長為半徑作弧,在∠AOB內(nèi),兩弧交于點C;
③作射線OC.
所以射線OC就是所求作的∠AOB的角平分線.
請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是__.
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【題目】某校計劃購買一批籃球和足球,已知購買2個籃球和1個足球共需320元,購買3個籃球和2個足球共需540元.
(1)求每個籃球和每個足球的售價;
(2)如果學(xué)校計劃購買這兩種球共50個,總費用不超過5500元,那么最多可購買多少個足球?
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【題目】如圖,已知為的高線,,以為底邊作等腰,連接,,延長交于點,下列結(jié)論:①;②;③;④為等腰三角形;⑤,其中正確的有( )
A.①③B.①②④C.①③④D.①②③⑤
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【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
若是這個方程的一個根,求的值和方程的另一個根;
求證:對于任意實數(shù),這個方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
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【題目】拋物線的圖象先向右平移個單位長度,再向下平移個單位長度,所得圖象的解析式是,則
A. 13 B. 11 C. 10 D. 12
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【題目】對于拋物線.
它與軸交點的坐標(biāo)為________,與軸交點的坐標(biāo)為________,頂點坐標(biāo)為________.
在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出此時拋物線;
結(jié)合圖象回答問題:當(dāng)時,的取值范圍是________.
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【題目】△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c, 下列命題為真命題的是( )
A.如果∠A=2∠B=3∠C,則△ABC是直角三角形
B.如果∠A:∠B:∠C=3: 4: 5,則△ABC是直角三角形
C.如果a: b: c=1: 2: 2,則△ABC是直角三角形
D.如果a: b: c=3: 4: 5,則△ABC是直角三角形
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【題目】曉東在解一元二次方程時,發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法:如:解方程x(x+4)=6.
解:原方程可變形,得[(x+2)﹣2][(x+2)+2]=6.(x+2)2﹣22=6,(x+2)2=6+22,(x+2)2=10.直接開平方并整理,得,.我們稱曉東這種解法為“平均數(shù)法”.
(1)下面是曉東用“平均數(shù)法”解方程(x+2)(x+6)=5時寫的解題過程.
解:原方程可變形,得
[(x+□)﹣〇][(x+□)+〇]=5.
(x+□)2﹣〇2=5,
(x+□)2=5+〇2.
直接開平方并整理,得x1=☆,x2=¤.
上述過程中的“□”,“〇”,“☆”,“¤”表示的數(shù)分別為 , , , .
(2)請用“平均數(shù)法”解方程:(x﹣3)(x+1)=5.
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