Question

【題目】在等邊中，點(diǎn)D在線段AC上，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD = CE，連接BD，連接AE．

(1)如圖1，若，求線段AD的長(zhǎng)；

(2)如圖2，若F是線段BD的中點(diǎn)，連接AF，若，求證：．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出AM=3，BM=在Rt△AMB中，根據(jù)，求出MD的長(zhǎng)度，即可求出線段AD的長(zhǎng)；

（2）延長(zhǎng)AF至點(diǎn)N使得FN=AF，連接BN，先證明出△ADF≌△NBF，得出DA=BN，∠DAF=∠N，進(jìn)而得出∠N=∠E，再用AAS判斷出△ABN≌△ACE即可得出結(jié)論；

(1) 過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)G

∵△ABC是等邊三角形,

∴AM=3，BM=

在Rt△AMB中，

∴MD=

∴AD=AM+MD=

(2) 延長(zhǎng)AF至點(diǎn)N使得FN=AF，連接BN

∵ F是BD的中點(diǎn)

∴BF=DF

在△ADF和△NBF中：

,

∴△ADF≌△NBF（SAS），

∴DA=BN，∠DAF=∠N

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°

∵∠EAF=60°，

∴∠BAF=∠DAE

∵∠EAF=∠EAC+∠DAF=60°，∠ACD=∠EAC+∠E=60°，

∴∠DAF=∠E，

∴∠N=∠E

在△ABN和△ACE中：

,

∴△ABN≌△ACE（AAS），∴BN=CE，∴AD=DC，∴BD⊥AC，∴BD=