【題目】我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”.
概念理解:在“矩形、菱形和正方形”這三種特殊四邊形中,不一定是“等鄰角四邊形”的是______.
問題探究:如圖,在等鄰角四邊形ABCD中,∠B=∠C,AB=3,BC=9,P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)B,C),Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PA,PQ,在P,Q的運(yùn)動(dòng)過程中始終滿足∠APQ=∠B,當(dāng)CQ達(dá)到最大時(shí),試求此時(shí)BP的長(zhǎng).
應(yīng)用拓展:在以60°為等角的等鄰角四邊形ABCD中,∠D=90°,若AB=3,AD=,試求等鄰角四邊形ABCD的周長(zhǎng).
【答案】概念理解:菱形;問題探究:當(dāng)CQ達(dá)到最大時(shí),此時(shí)BP的長(zhǎng)是;應(yīng)用拓展:等鄰角四邊形ABCD的周長(zhǎng)為12+或6-3.
【解析】
概念理解:根據(jù)等鄰邊四邊形的定義即可解答;問題探究:設(shè)BP=x,CQ=y,則PC=9-x,根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明△PBA∽△QCP,列比例式可得:,則y=-+3x=-(x-)2+,根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論;應(yīng)用拓展:準(zhǔn)確畫圖后作輔助線,構(gòu)建直角三角形,根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理可求得四邊形各邊的長(zhǎng),相加可得周長(zhǎng).
概念理解:
①∵矩形的四個(gè)角都是直角,
根據(jù)“等鄰角四邊形”的定義,
得到矩形是“等鄰角四邊形”;
②同理可得:正方形是“等鄰角四邊形”,
③∵菱形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ),但不一定相等,
∴菱形不一定是“等鄰角四邊形”;
故答案為:菱形;
問題探究:
如圖,設(shè)BP=x,CQ=y,則PC=9-x,
∵∠APB+∠APQ+∠CPQ=180°,
∴∠APB+∠CPQ=180°-∠APQ,
∵∠CPQ+∠C+∠CQP=180°,
∴∠CPQ+∠CQP=180°-∠C,
∵∠C=∠APQ,
∴∠APB+∠CPQ=∠CPQ+∠CQP,
∴∠APB=∠CQP,
∵∠B=∠C,
∴△PBA∽△QCP,
∴,
∴,
∴y=-+3x=-(x-)2+,
∵-<0,
∴當(dāng)x=時(shí),y有最大值是,
即當(dāng)CQ達(dá)到最大時(shí),此時(shí)BP的長(zhǎng)是;.
應(yīng)用拓展:
(3)有兩種情況:
①當(dāng)∠B=∠C=60°時(shí),
如圖,延長(zhǎng)DA,CB交于E,過B作BF⊥DE于F,
∵∠C=60°,
∴∠E=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠E=30°,
∴AB=BE=3,
∴BF=,EF=AF=,
∴DE=AD+AE=+3=4,
Rt△DCE中,設(shè)CD=x,則CE=2x,
由勾股定理得:x2+(4)2=(2x)2,
x=±4,
∴CE=8,CD=4,
∴BC=8-3=5,
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=3+5+4+=12+.
②當(dāng)∠A=∠B=60°時(shí),如圖所示:
延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ABE是等邊三角形,
∴∠E=60°,
∵∠ADC=90°,
∴∠DCE=30°,
∵AB=3,AD=,
∴DE=3-,CE=6-2,CD=DE=3-3,
∴BC=3-(6-2)=2-3,
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=3+2-3+3-3+=6-3;
綜上,等鄰角四邊形ABCD的周長(zhǎng)為12+或6-3.
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(1)當(dāng)行使8千米時(shí),收費(fèi)應(yīng)為 元;
(2)從圖象上你能獲得哪些信息?(請(qǐng)寫出2條)
① ________
②____________________________
(3)求出收費(fèi)y(元)與行使x(千米)(x≥3)之間的函數(shù)關(guān)系式.
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(1)請(qǐng)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)完成下表:
極差 | 平均數(shù) | 方差 | |
甲 | 10 | ________ | ________ |
乙 | _________ | 85 | 24.8 |
(2)請(qǐng)你推選出一名參賽選手,并用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)說明理由.
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【題目】如圖A、B、C是固定在桌面上的三根立柱,其中A柱上穿有三個(gè)大小不同的圓片,下面的直徑總比上面的大現(xiàn)想將這三個(gè)圓片移動(dòng)到B柱上,要求每次只能移動(dòng)一片叫移動(dòng)一次,被移動(dòng)的圓片只能放入A、B、C三個(gè)柱之一且較大的圓片不能疊在小片的上面,那么完成這件事情至少要移動(dòng)圓片的次數(shù)是
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上,DE∥BC,DF∥AC,若△ADE與四邊形DBCE的面積相等,則△DBF與△ADE的面積之比為( )
A. B. C. D. 3-2
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BC=CD,∠C=2∠BAD.
(1)求∠BOD的度數(shù);
(2)求證:四邊形OBCD是菱形;
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(2)求AE的長(zhǎng).
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