Question

【題目】我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．

概念理解：在“矩形、菱形和正方形”這三種特殊四邊形中，不一定是“等鄰角四邊形”的是______．

問題探究：如圖，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B=∠C，AB=3，BC=9，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)B，C），Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PQ，在P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中始終滿足∠APQ=∠B，當(dāng)CQ達(dá)到最大時(shí)，試求此時(shí)BP的長(zhǎng)．

應(yīng)用拓展：在以60°為等角的等鄰角四邊形ABCD中，∠D=90°，若AB=3，AD=，試求等鄰角四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】概念理解：菱形；問題探究：當(dāng)CQ達(dá)到最大時(shí)，此時(shí)BP的長(zhǎng)是；應(yīng)用拓展：等鄰角四邊形ABCD的周長(zhǎng)為12+或6-3．

【解析】

概念理解：根據(jù)等鄰邊四邊形的定義即可解答；問題探究：設(shè)BP=x，CQ=y，則PC=9-x，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明△PBA∽△QCP，列比例式可得：，則y=-+3x=-（x-）2+，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；應(yīng)用拓展：準(zhǔn)確畫圖后作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理可求得四邊形各邊的長(zhǎng)，相加可得周長(zhǎng)．

概念理解：

①∵矩形的四個(gè)角都是直角，

根據(jù)“等鄰角四邊形”的定義，

得到矩形是“等鄰角四邊形”；

②同理可得：正方形是“等鄰角四邊形”，

③∵菱形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，但不一定相等，

∴菱形不一定是“等鄰角四邊形”；

故答案為：菱形；

問題探究：

如圖，設(shè)BP=x，CQ=y，則PC=9-x，

∵∠APB+∠APQ+∠CPQ=180°，

∴∠APB+∠CPQ=180°-∠APQ，

∵∠CPQ+∠C+∠CQP=180°，

∴∠CPQ+∠CQP=180°-∠C，

∵∠C=∠APQ，

∴∠APB+∠CPQ=∠CPQ+∠CQP，

∴∠APB=∠CQP，

∵∠B=∠C，

∴△PBA∽△QCP，

∴，

∴，

∴y=-+3x=-（x-）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值是，

即當(dāng)CQ達(dá)到最大時(shí)，此時(shí)BP的長(zhǎng)是；．

應(yīng)用拓展：

（3）有兩種情況：

①當(dāng)∠B=∠C=60°時(shí)，

如圖，延長(zhǎng)DA，CB交于E，過B作BF⊥DE于F，

∵∠C=60°，

∴∠E=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAE=∠E=30°，

∴AB=BE=3，

∴BF=，EF=AF=，

∴DE=AD+AE=+3=4，

Rt△DCE中，設(shè)CD=x，則CE=2x，

由勾股定理得：x2+（4）2=（2x）2，

x=±4，

∴CE=8，CD=4，

∴BC=8-3=5，

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=3+5+4+=12+．

②當(dāng)∠A=∠B=60°時(shí)，如圖所示：

延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，

∵∠A=∠B=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠E=60°，

∵∠ADC=90°，

∴∠DCE=30°，

∵AB=3，AD=，

∴DE=3-，CE=6-2，CD=DE=3-3，

∴BC=3-（6-2）=2-3，

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=3+2-3+3-3+=6-3；

綜上，等鄰角四邊形ABCD的周長(zhǎng)為12+或6-3．