Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D為AB的中點，E，F分別是AC， BC上的點（點E不與端點A，C重合），且AE=CF，連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使GO=OD．連接DE， GE， GF．

(1)求證：四邊形EDFG是正方形；

(2)直接寫出四邊形EDFG面積的最小值和E點所在的位置．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EDFG的最小值是4，此時，E為線段AC的中點

【解析】分析：（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；

（2）過點D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

詳解：（1）連接CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF為等腰直角三角形．

∵O為EF的中點，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四邊形EDFG是正方形；

（2）過點D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′=BC=2，AB=4，點E′為AC的中點，∴2≤DE＜2（點E與點E′重合時取等號），∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8，∴當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．