Question

工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種型號的產(chǎn)品共100臺，用于生產(chǎn)這批產(chǎn)品的資金不少于22400元，又不超過22500元．所生產(chǎn)的兩種型號的產(chǎn)品可全部售出，此兩種型號的產(chǎn)品的生產(chǎn)成本和售價如下表（注：利潤=售價-成本）：

型號	A	B
成本（元/臺）	200	240
售價（元/臺）	250	300

（1）設(shè)生產(chǎn)A型產(chǎn)品x臺，則生產(chǎn)B型產(chǎn)品______臺；
（2）該廠有幾種生產(chǎn)方案，哪種方案可獲得最大利潤，并求出最大利潤．
（3）如果每臺B型產(chǎn)品的銷售利潤不變，每臺A型產(chǎn)品的銷售利潤為m元（m＞0），該廠應(yīng)該如何生產(chǎn)可以獲得最大利潤？（不必求出最大利潤）

Answer 1

解：（1）∵生產(chǎn)A、B兩種型號的產(chǎn)品共100臺，
∴生產(chǎn)B型產(chǎn)品的臺數(shù)=100-x；
故答案為（100-x）．

（2）依題意得，22400≤200x+240（100-x）≤22500，解得：37.5≤x≤40；
∴x=38、39、40，
∴該廠有三種生產(chǎn)方案，方案如下：
方案一：A型38臺，B型62臺；
方案二：A型39臺，B型61臺；
方案三：A型40臺，B型60臺．
利潤W=（250-200）x+（300-240）×（100-x）=-10x+6000，
∴W隨x的增大而減小，
∴x=38時，W最大，W=-10×38+6000=5620，
所以方案一：生產(chǎn)A型38臺，B型62臺，可獲得最大利潤，最大利潤為5620元；

（3）利潤W=mx+60（100-x）=（m-60）x+6000，
當(dāng)m＞60時，生產(chǎn)A型40臺B型60臺可獲得最大利潤；
當(dāng)m=60時，三種方案利潤相同；
當(dāng)0＜m＜60時，生產(chǎn)A型38臺B型62臺可獲得最大利潤．
分析：（1）用100臺減去A型產(chǎn)品x臺即可得到生產(chǎn)B型產(chǎn)品的臺數(shù)；
（2）根據(jù)總成本不少于22400元，又不超過22500元列出不等式組，解不等式組得到37.5≤x≤40，x取整數(shù)，即可得到生產(chǎn)方案；利用總利潤=總售價-總成本得到利潤W=（250-200）x+（300-240）×（100-x）=-10x+6000，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)易得x=38時，W最大，W=-10×38+6000=5620，
（3）先表示出利潤=mx+60（100-x）=（m-60）x+6000，然后討論：當(dāng)m＞60或m=60或0＜m＜60，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到怎樣生產(chǎn)可以獲得最大利潤．
點評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：根據(jù)題意列出一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b（k≠0），然后根據(jù)k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小確定獲得最大利潤的方案．也考查了不等式組的應(yīng)用以及利潤的含義．