Question

【題目】如圖，P是⊙O外的一點，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，PO交AB于點F，延長BO交⊙O于點C，交PA的延長交于點Q，連結AC．

（1）求證：AC∥PO；

（2）設D為PB的中點，QD交AB于點E，若⊙O的半徑為3，CQ=2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】（1）根據切線長定理得出PA=PB，且PO平分∠BPA，利用等腰三角形三線合一的性質得出PO⊥AB．根據圓周角定理得出AC⊥AB，進而得到AC∥PO；

（2）連結OA、DF．先用勾股定理計算出AQ=4，再計算出PA=PB=6，利用切線長定理可得到F點為AB的中點，易得DF為△BAP的中位線，則DF=PA=3，DF∥PA，利用DF∥AQ得到△DFE∽△QEA，所以，設AE=4t，FE=3t，則AF=AE+FE=7t，于是BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，最后計算．

（1）證明：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，

∴PA=PB，且PO平分∠BPA，

∴PO⊥AB．

∵BC是直徑，

∴∠CAB=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC∥PO；

（2）連結OA、DF，如圖，

∵PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，

∴∠OAQ=∠PBQ=90°．

在Rt△OAQ中，OA=OC=3，

∴OQ=5．

由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．

在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，

∴PA=PB=6．

∵OP⊥AB，

∴BF=AF=AB．

又∵D為PB的中點，

∴DF∥AP，DF=PA=3，

∴△DFE∽△QEA，

∴

設AE=4t，FE=3t，則AF=AE+FE=7t，

∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，

∴．