Question

【題目】已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，與軸交于A（，0）、B（，0），﹤0﹤，與軸交于點(diǎn)C，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求證：；

（2）求、的值；

（3）當(dāng)﹥0且二次函數(shù)圖象與直線僅有一個交點(diǎn)時，求二次函數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 當(dāng)時，，；當(dāng)時，， ；(3)4.

【解析】

試題分析：(1)因為圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，所以可證，從而證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，可得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得：，，又因為tan∠CAO=，tan∠CBO=，，可以求出，所以可得：，然后分情況求出m、n的值；

(3) 當(dāng)時，可得二次函數(shù)的表達(dá)式為：，根據(jù)二次函數(shù)圖象與直線僅有一個交點(diǎn)可得：一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，從而得到：，從而求出p的值，可以得到：此時二次函數(shù)的表達(dá)式為：，從而得到函數(shù)的最大值是4.

試題解析：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,

將2代入頂點(diǎn)橫坐標(biāo)得：

∴，

（2） ∵已知二次函數(shù)圖象與軸交于A（，0）、B（，0），

由（1）知，

∴，，

∵﹤0﹤，

∴在Rt△ACO中，tan∠CAO=，

在Rt△CBO中，tan∠CBO=，

∵，

∴，

∵ ﹤0﹤，

∴，

∴，

即

∴，

∴，

當(dāng)時，，

解得：，

當(dāng)時，，

解得：，

（3）當(dāng)時，二次函數(shù)的表達(dá)式為：，

∵二次函數(shù)圖象與直線僅有一個交點(diǎn)

∴方程組僅有一個解

∴一元二次方程

即有兩個相等根，

∴，

解得：，

此時二次函數(shù)的表達(dá)式為：，

∵，

∴有最大值.