【題目】直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)C,且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).
①如圖1,若CD=AD,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②如圖2,BD與AC交于點(diǎn)E,求S△CDE:S△CBE的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)①D(,);②S△CDE:S△CBE的最大值為.
【解析】分析:(1)先求出A、C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式;
(2)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),確定點(diǎn)D的在y=x上,設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo),代入y=﹣x2+x+2即可得到函數(shù)的解析式;
②作DF∥y軸交AC于F,BG∥y軸交直線AC于G,證得△DEF∽△BEG,然后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系,設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)(t,﹣t2+t+2),再根據(jù)相似比的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求解即可.
詳解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x+2=2,則C(0,2),
當(dāng)y=0時(shí),﹣x+2=0,解得x=2,則A(2,0),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣2),
把C(0,2)代入得a1(﹣2)=2,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x+1)(x﹣2),
即y=﹣x2+x+2;
(2)①∵OA=OC,
∴△OAC為等腰直角三角形,
∵DC=DA,
∴點(diǎn)D在AC的垂直平分線上,
即點(diǎn)D在直線y=x上,
設(shè)D(m,m)(m>0),
把D(m,m)代入y=﹣x2+x+2得﹣m2+m+2=m,解得m1=,m2=﹣(舍去),
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,);
②作DF∥y軸交AC于F,BG∥y軸交直線AC于G,如圖2,
∵DF∥BG,
∴△DEF∽△BEG,
∴=,
∵S△CDE:S△CBE=,
∴S△CDE:S△CBE=,
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣x+2=3,則G(﹣1,3),
設(shè)D(t,﹣t2+t+2)(0<t<2),則F(t,﹣t+2),
∴DF=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+2t,
∴S△CDE:S△CBE===﹣(t﹣1)2+,
∴當(dāng)t=1時(shí),S△CDE:S△CBE的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,將邊長為 9cm 的正方形紙片 ABCD 折疊,使得點(diǎn) A 落在邊 CD 上的 E 點(diǎn),折痕為 MN.若 CE 的長為 6cm,則 MN 的長為_____cm.
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【題目】如圖,點(diǎn) O 為直線 AB 上一點(diǎn),過點(diǎn) O 作射線 OC,使∠BOC=135°,將一個(gè)含 45°角的直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn) O 處,斜邊 OM 與直線 AB 重合,另外兩條直角邊都在直線 AB 的下方.
(1)將圖 1 中的三角尺繞著點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,如圖 2 所示,此時(shí)∠BOM= 度(答案直接填寫在答題卡的橫線上);在圖 2 中,OM 是否平分∠CON ? 請(qǐng)說明理由;
(2)緊接著將圖 2 中的三角板繞點(diǎn) O 逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置所示,使得 ON 在∠AOC 的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚骸?/span>AOM 與∠CON 之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)將圖 1 中的三角板繞點(diǎn) O 按每秒 5°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中, 第 t 秒時(shí),直線 ON 恰好平分銳角∠AOC,請(qǐng)你直接寫出t 的值為多少.
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【題目】如圖,已知Rt△ABC,∠C=90°.
(1)求作:△ABC的內(nèi)切圓⊙O;(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留痕跡)
(2)在(1)中,∠AOB的度數(shù)為 .
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【題目】如圖,在中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作,AF與CE的延長線相交于點(diǎn)F,連接BF.
(1)求證:四邊形AFBD是平行四邊形;
(2)①若四邊形AFBD是矩形,則必須滿足條件_________;
②若四邊形AFBD是菱形,則必須滿足條件_________.
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【題目】對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量 x 與函數(shù)值 y 滿足:當(dāng)1≤x≤1 時(shí),1≤y≤1,則稱這個(gè)函數(shù)為“閉 函數(shù)”.例如:y=x,y=x 均是“閉函數(shù)”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“閉函數(shù)”,且拋物線經(jīng)過點(diǎn) A(1,1)和點(diǎn) B(1,1),則 a 的取值范圍是______________.
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【題目】如圖,∠MAN=30°,點(diǎn)O為邊AN上一點(diǎn),以O為圓心,4為半徑
作⊙O交AN于D、E兩點(diǎn).
⑴ 當(dāng)⊙O與AM相切時(shí),求AD的長;
⑵ 如果AD=2,那么AM與⊙O又會(huì)有怎樣的位置關(guān)系?并說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、.
(1)不用畫圖,請(qǐng)直接寫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo): , , ;
(2)在圖中畫出關(guān)于直線(直線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為1)對(duì)稱的圖形,并直接寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo): , , ;
(3)若內(nèi)有任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則在關(guān)于直線(直線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為1)對(duì)稱的圖形上,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) .(用含和的式子表示)
(建議:先用鉛筆畫圖,確定無誤后用黑色水性筆畫在答題卡上)
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