【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的正半軸交于點A,與x軸交于點B2,0),三角形ABO的面積為2.動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在射線OB上運動,動點QB出發(fā),沿x軸的正半軸與點P同時以相同的速度運動,過PPMX軸交直線ABM

1)求直線AB的解析式.

2)當(dāng)點P在運動時,設(shè)MPQ的面積為S,點P運動的時間為t秒,求St的函數(shù)關(guān)系式(直接寫出自變量的取值范圍).

3)過點QQNX軸交直線ABN,在運動過程中(P不與B重合),是否存在某一時刻t(秒),使MNQ是等腰三角形?若存在,求出時間t值.

【答案】1)直線AB的解析式為y=x+2;(2t=4時,MNQ是等腰三角形.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)三角形的面積求出OA,再寫出點A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答;

2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出PM,再求出PQ的長,然后利用直角三角形的面積公式列式整理即可得解;

3)表示出PM、QN,再利用勾股定理列式表示出QM2,再求出MN,然后分MN=QN,MN=QM,QN=QM三種情況列出方程求解即可.

試題解析:解:(1B2,0),OB=2,SABO=OBOA=×2OA=2,解得OA=2,A0,2),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則 ,解得 ,直線AB的解析式為y=x+2;

2OA=OB=2,∴△ABO是等腰直角三角形,P、Q的速度都是每秒1個單位長度,PM=PB=OBOP=2t,PQ=OB=2∴△MPQ的面積為S=PQPM=×2×2t=2t,P在線段OB上運動,0t2,St的函數(shù)關(guān)系式為S=2t0t2);

3t秒時,PM=PB=|2t|,QN=BQ=t,所以,QM2=PM2+PQ2=2t2+4MN=QNPM=tt2=

MN=QN,則t=;

MN=QM,則(2t2+4=2,整理得,t24t=0,解得t1=0(舍去),t2=4;

QN=QM,則(2﹣t2+4=t2,理得,4t﹣8=0,解得t=2,此時點P在與點B重合,不合題意舍去

綜上所述,t=4時,MNQ是等腰三角形.

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