Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣bx﹣4a交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為B（1，0）、C（0，4）．

（1）求拋物線的解析式，并用配方法把其化為y=a（x﹣h）2+k的形式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)D（m，1﹣m）在第二象限的拋物線上，求出m的值，并直接寫出點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）此拋物線的解析式為y=﹣x2﹣3x+4． ；（-， ）；（2）m1=﹣3，m2=1．E（0，1）．

【解析】試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx﹣4a經(jīng)過A（1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）由點(diǎn)D（m，1﹣m）在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，則可求得∠CBO的度數(shù)，然后過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，延長DE交y軸于E，又由點(diǎn)E即為點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

試題解析：（1）拋物線y=ax2+bx﹣4a經(jīng)過A（1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，

∴，

解得．

∴此拋物線的解析式為y=﹣x2﹣3x+4．

（2）∵點(diǎn)D（m，1﹣m）在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，

∴﹣m2﹣3m+4=1﹣m，

解得m1=﹣3，m2=1．

∵點(diǎn)D在第二象限，

∴D（﹣3，4）．

令y=﹣x2﹣3x+4=0，

解得x1=1，x2=﹣4．

∴B（﹣4，0）．

∴∠CBO=45°．

連接DC，

易知DC∥BA，DC⊥CO，DC=3．

∴∠DCA=∠CAO=45°．

∴∠ACD=45°．

過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，延長DE交y軸于E，

∴∠D=45°．

∴∠CFE=45°．

∴DF=CF=EF．

∴點(diǎn)E即為點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)．

∴CD=CE=3，

∴OE=1

∴E（0，1）．