Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4），與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0），連接AB，AC．

（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)的解析式．

（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A，N，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直角三角形，證明見解析；（3）（3，0）或（-8，0）或（，0）或（，0）

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;
(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形
(3)分別以A.C兩點(diǎn)為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧,與m軸交于三個(gè)點(diǎn),由AC的垂直平分線與c軸交于一個(gè)點(diǎn),即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)

(1)∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B.C,點(diǎn)C坐標(biāo)(8,0),

∴
解得
∴拋物線表達(dá)式：

△ABC是直角三角形.
令y=0,則
解得x1=8,x2=-2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形

(3)∵A(0,4),C(8,0),
AC==4,
①以A為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交軸于N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(-8,0),
②以C為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(,0)或(,0)
③作AC的垂直平分線,交g軸于N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(3,0),
綜上,若點(diǎn)N在軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(-8,0)、(,0)、(3,0)、,0)