Question

【題目】如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒. 動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止.連結(jié)DE、CD、AE.（1）填空:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)_______ 秒時(shí)，△BDE與△ABC相似？

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)△ADE的面積為s，求s與t的函數(shù)解析式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使CD⊥DE？若存在，求出時(shí)刻t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）秒或秒；（2）s=t2（0≤t≤）；(3)存在，．

【解析】

試題設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），

（1）分類：當(dāng)∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BAC；當(dāng)∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BCA，然后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值；

（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，易證Rt△BEF∽R(shí)t△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；

（3）先計(jì)算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t．

試題解析：設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），

（1）當(dāng)∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BAC，

∴BD：BA=BE：BC，即（4-t）：4=2t：5，

∴t=；

當(dāng)∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BCA，

∴BD：BC=BE：BA，即（4-t）：5=2t：4，

∴t=；

所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，△BDE與△ABC相似；

（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，如圖，

易證Rt△BEF∽R(shí)t△BAC，

∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，

∴EF=，BF=，

∴S=AD×EF=×t×=t2（0≤t≤）；

（3）存在．

DF=AB-AD-BF=4-t-=4-t，

若CD⊥DE，

易證得Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，

∴AC：DF=AD：EF，即3：（4-t）=t：，

∴t=．