Question

如圖1，A為⊙O的弦EF上的一點(diǎn)，OB是和這條弦垂直的半徑，垂足為H，BA的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與EF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D．
（1）求證：DA=DC；
（2）當(dāng)DF：EF=1：8，且DF=

2

時(shí)，求AB•AC的值；
（3）將圖1中的EF所在直線往上平行移動(dòng)到⊙O外，如圖2的位置，使EF與OB，延長(zhǎng)線垂直，垂足為H，A為EF上異于H的一點(diǎn)，且AH小于⊙O的半徑，AB的延長(zhǎng)線交⊙O于C，過(guò)C作⊙O的切線交EF于D．試猜想DA=DC是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接過(guò)切點(diǎn)的半徑OC，根據(jù)等角的余角相等進(jìn)行證明∠ACD=∠DAC，從而得到AD=CD；
（2）根據(jù)已知條件求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理求得CD的長(zhǎng)．從而求得DF和EF的長(zhǎng)，最后根據(jù)相交弦定理即可求得它們的乘積；
（3）作直徑，構(gòu)造了直接三角形，也構(gòu)造了弦切角所夾的弧所對(duì)的圓周角．根據(jù)等角的余角相等證明∠DAC=∠ACD，從而證明結(jié)論．

解答：（1）證明：連接OC，則OC⊥DC，（1分）
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B．
∵∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA．
∴DA=DC．

（2）解：∵DF：EF=1：8，
∵DF=

2

，
∴EF=8DF=8

2

．
∵DC為⊙O的切線，
∴DC²=DF•DE=

2

×9

2

=18．
∵DC=3

2

，
∴AF=2

2

，AE=6

2

．
∴AB•AC=AE•AF=24．

（3）解：結(jié)論DA=DC仍然成立．
理由如下：延長(zhǎng)BO交⊙O于K，連接CK，則∠KCB=90°；
∵DC為⊙O的切線，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK．
∵∠CBK=∠HBA，
∴∠BAH=90°-∠HBA=90°-∠CBK．
∴∠DCA=∠BAH．
∴DA=DC．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論、切割線定理和相交弦定理進(jìn)行求解證明．