Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+mx+2m﹣7的圖象經(jīng)過點（1，0）．

（1）求拋物線的表達式；
（2）把﹣4＜x＜1時的函數(shù)圖象記為H，求此時函數(shù)y的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將圖象H在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象H的其余部分保持不變，得到一個新圖象M．若直線y=x+b與圖象M有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+mx+2m﹣7的圖象經(jīng)過點（1，0），

∴1+m+2m﹣7=0，解得m=2．

∴拋物線的表達式為y=x2+2x﹣3

（2）解：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．

∵當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時，y隨x增大而減�。�

當(dāng)﹣1≤x＜1時，y隨x增大而增大，

∴當(dāng)x=﹣1，y最小=﹣4．

當(dāng)x=﹣4時，y=5．

∴﹣4＜x＜1時，y的取值范圍是﹣4≤y＜5

（3）解：y=x2+2x﹣3與x軸交于點（﹣3，0），（1，0）．

新圖象M如右圖紅色部分．

把拋物線y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過（﹣3，0）時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，此時b=3；

當(dāng)直線y=x+b與拋物線y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，

即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的實數(shù)解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b= ．

結(jié)合圖象可得，直線y=x+b與圖象M有三個公共點，b的取值范圍是3＜b＜ ．

【解析】（1）把點（1，0）代入拋物線解析式得到關(guān)于m的方程，從而可求得m的值，將m的值代入可得到拋物線的表達式；
（2）先求得拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸，然后畫出大致圖像，最后，依據(jù)函數(shù)圖像進行判斷即可；
（3）根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，然后由函數(shù)圖像可確定新圖象M與直線有三個交點時的界點，然后利用待定系數(shù)法求解即可.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象的平移的相關(guān)知識點，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能正確解答此題．