Question

【題目】如圖，邊長為2a的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（ ）

A. aB. aC. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取CB的中點G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．

如圖，取BC的中點G，連接MG，

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，

∴∠MBH+∠HBN=60°，

又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，

∴∠HBN=∠GBM，

∵CH是等邊△ABC的對稱軸，

∴HB=AB，

∴HB=BG，

又∵MB旋轉(zhuǎn)到BN，

∴BM=BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG=NH，

根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，

此時∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，

∴MG=CG=×a=a，

∴HN=a，

故選D．