Question

【題目】如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上(與點(diǎn)B，C不重合)，四邊形ADEF為正方形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：①AC=FG；②S△FAB∶S四邊形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據(jù)∠G=∠C=∠FAD=90°，可知K型全等，證得△ACD≌△FGA ，所以AC=FG；FG =BC，FG∥BC，可得四邊形BFGC是平行四邊形，再加∠C=90°，可得四邊形BFGC是矩形；根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ABF；由AD2=FQ·AC，可知是證△ACD∽△FEQ，再根據(jù)四邊形ADEF是正方形就可證得．

解：∵∠G=∠C=∠FAD=90°，

∴∠CAD=∠AFG．

∵AD=FA，

∴△ACD≌△FGA，

∴AC=FG，故①正確；

∵FG=AC=BC，FG∥BC，∠C=90°，

∴四邊形CBFG為矩形，

∴S△FAB=FB·FG=S四邊形CBFG，

故②正確；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

∴∠ABC=∠ABF=45°，

故③正確；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC∶FE=AD∶FQ，

∴AD·FE=AD2=FQ·AC，

故④正確．

故答案為：①②③④．