Question

如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點，
思考
如圖1，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設(shè)∠MOP=α。
當α=______度時，點P到CD的距離最小，最小值為______。
探究一
在圖1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=_______度，此時點N到CD的距離是_____。
探究二
將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)。
（1）如圖3，當α=60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；（2）如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍。（參考數(shù)椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=）

Answer 1

解：思考： 根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案， 當α=90度時，點P到CD的距離最小， ∵MN=8， ∴OP=4， ∴點P到CD的距離最小值為：6-4=2， 故答案為：90，2；
探究一： ∵以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止， 如圖2， ∵MN=8，MO=4，OY=4， ∴UO=2， ∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是2；
探究二（1）由已知得出M與P的距離為4， ∴PM⊥AB時，點MP到AB的最大距離是4， 從而點P到CD的最小距離為6-4=2， 當扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切， 此時旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°； （2）如圖3，由探究一可知，點P是弧MP與CD的切線時，α大到最大，即OP⊥CD，此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°， 如圖4，當點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD，α達到最小， 連接MP，作HO⊥MP于點H， 由垂徑定理，得出MH=3， 在Rt△MOH中，MO=4， ∴sin∠MOH=， ∴∠MOH=49°， ∵α=2∠MOH， ∴α最小為98°， ∴α的取值范圍為：98°≤α≤120°。