【題目】已知,在矩形ABCD中,連接對角線AC,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EFG,并將它沿直線AB向左平移,直線EG與BC交于點H,連接AH,CG.
(1)如圖①,當AB=BC,點F平移到線段BA上時,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想;
(2)如圖②,當AB=BC,點F平移到線段BA的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;
(3)如圖③,當AB=nBC(n≠1)時,對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想.
【答案】(1) AH=CG,AH⊥CG ;(2) 仍然成立,理由詳見解析;(3) AH=nCG,AH⊥CG.理由詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)延長AH與CG交于點T,如圖①,易證BH=BG,從而可證到△ABH≌△CBG,則有AH=CG,∠HAB=∠GCB,從而可證到∠HAB+∠AGC=90°,進而可證到AH⊥CG.
(2)延長CG與AH交于點Q,如圖②,仿照(1)中的證明方法就可解決問題.
(3)延長AH與CG交于點N,如圖③,易證BH∥EF,可得△GBH∽△GFE,則有,也就有,從而可證到△ABH∽△CBG,則有=n,∠HAB=∠GCB,進而可證到AH=nCG,AH⊥CG.
試題解析:(1)AH=CG,AH⊥CG.
證明:延長AH與CG交于點T,如圖①,
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四邊形ABCD是矩形,AB=BC,
∴EF=GF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠CBG=90°,∠EGF=45°.
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF.
∴BH=BG.
在△ABH和△CBG中,
AB=BC,∠ABH=∠CBG,BH=BG,
∴△ABH≌△CBG(SAS).
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°.
∴∠ATC=90°.
∴AH⊥CG.
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.
證明:延長CG與AH交于點Q,如圖②,
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四邊形ABCD是矩形,AB=BC,
∴EF=GF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠ABH=90°,∠EGF=45°.
∴∠BGH=∠EGF=45°.
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH.
∴BH=BG.
在△ABH和△CBG中,
AB=BC,∠ABH=∠CBG,BH=BG,
∴△ABH≌△CBG(SAS).
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°.
∴∠CQA=90°.
∴CG⊥AH.
(3)AH=nCG,AH⊥CG.理由如下:
延長AH與CG交于點N,如圖③,
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四邊形ABCD是矩形,AB=nBC,
∴EF=nGF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠EFG+∠ABC=180°.
∴BH∥EF.
∴△GBH∽△GFE.
∴.
∵,
∴.
∵∠ABH=∠CBG,
∴△ABH∽△CBG.
∴=n,∠HAB=∠GCB.
∴AH=nCG,∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°.
∴∠ANC=90°.
∴AH⊥CG.
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【題目】(本題8分)已知△ABC的兩邊AB、AC的長恰好是關(guān)于x的方程x2+(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5
(1) 求證:AB≠AC
(2) 如果△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,求k的值
(3) 填空:當k=________時,△ABC是等腰三角形,△ABC的周長為________
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【題目】我們規(guī)定:等腰三角形的底角與頂角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”.如圖,△ABC是以A為頂點的“特征值”為的等腰三角形,在△ABC外有一點D,若∠ADB=∠ABC,AD=4,BD=3,則∠ABC=_____度,CD的長是_____.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=60°,P是BC邊上一點,將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P',連接CP'.
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后示意圖;
(2)連接PP',若∠BAP=20°,求∠PP'C的度數(shù).
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【題目】如圖,△ABC的內(nèi)接三角形,P為BC延長線上一點,∠PAC=∠B,AD為⊙O的直徑,過C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:AG2=AF·AB;
(3)求若⊙O的直徑為10,AC=2,AB=4,求△AFG的面積.
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【題目】已知:二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(3,5),且拋物線經(jīng)過點A(1,3).
(1)求此拋物線的表達式;
(2)如果點A關(guān)于該拋物線對稱軸的對稱點是B點,且拋物線與y軸的交點是C點,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=6,扇形BEF的半徑為6,圓心角為60°.
(1)連接DB,求證:∠DBF=∠ABE;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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【題目】某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具,每件進價20元,規(guī)定單件銷售利潤不低于10元,且不高于18元.試銷售期間發(fā)現(xiàn),當銷售單價定為35元時,每天可售出250件,銷售單價每上漲1元,每天銷售量減少10件,該網(wǎng)店決定提價銷售.設(shè)每天銷售量為y件,銷售單價為x元.
(1)請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍;
(2)當銷售單價是多少元時,網(wǎng)店每天獲利3840元?
(3)網(wǎng)店決定每銷售1件玩具,就捐贈a元(0<a≤6)給希望工程,每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為3300元,求a的值.
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