【題目】已知△ABC中,AB=AC,點P是AB上一動點,點Q是AC的延長線上一動點,且點P從B運動向A、點Q從C運動向Q移動的時間和速度相同,PQ與BC相交于點D,若AB=,BC=16.
(1)如圖1,當點P為AB的中點時,求CD的長;
(2)如圖②,過點P作直線BC的垂線,垂足為E,當點P、Q在移動的過程中,設BE+CD=λ,λ是否為常數(shù)?若是請求出λ的值,若不是請說明理由.
【答案】(1)4;(2)8
【解析】
(1)過P點作PF∥AC交BC于F,由點P和點Q同時出發(fā),且速度相同,得出BP=CQ,根據(jù)PF∥AQ,可知∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,則可得出∠B=∠PFB,證出BP=PF,得出PF=CQ,由AAS證明△PFD≌△QCD,得出,再證出F是BC的中點,即可得出結(jié)果;
(2)過點P作PF∥AC交BC于F,易知△PBF為等腰三角形,可得BE=BF,由(1)證明方法可得△PFD≌△QCD 則有CD=,即可得出BE+CD=8.
解:(1)如圖①,過P點作PF∥AC交BC于F,
∵點P和點Q同時出發(fā),且速度相同,
∴BP=CQ,
∵PF∥AQ,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PFB,
∴BP=PF,
∴PF=CQ,又∠PDF=∠QDC,
∴△PFD≌△QCD,
∴DF=CD=CF,
又因P是AB的中點,PF∥AQ,
∴F是BC的中點,即FC=BC=8,
∴CD=CF=4;
(2)為定值.
如圖②,點P在線段AB上,
過點P作PF∥AC交BC于F,
易知△PBF為等腰三角形,
∵PE⊥BF
∴BE=BF
∵易得△PFD≌△QCD
∴CD=
∴
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【題目】如圖,有兩個構(gòu)造完全相同(除所標數(shù)字外)的轉(zhuǎn)盤A,B,每個轉(zhuǎn)盤都被分成3個大小相同的扇形,指針位置固定,游戲規(guī)定,轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次,轉(zhuǎn)盤停止后若A盤指針指示區(qū)域數(shù)字比B盤指針指示區(qū)域數(shù)字大則小明勝,否則小亮勝(指針指向兩個扇形的交線時,當作指向右邊的扇形).你認為這個游戲規(guī)則公平嗎?為什么?
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【題目】如圖所示,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AD=15,AB=16,BC=12,點E是邊AB上的動點,點F是射線CD上一點,射線ED和射線AF交于點G,且∠AGE=∠DAB.
(1)求線段CD的長;
(2)如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形,求線段AE的長;
(3)如果點F在邊CD上(不與點C、D重合),設AE=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,,,的垂直平分線交軸與點,連接,為第一象限內(nèi)的點.
(1)求點坐標;
(2)當時,求的值;
(3)如圖2,點為軸上的一個動點,當為等腰三角形時,直接寫出點的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標中,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點A作x軸垂線,垂足為C,過點B作y軸垂線,垂足為D,AC與BD交于點E,連接AD,DC,CB.
(1)求k的值;
(2)求證:DC∥AB;
(3)當AD∥BC時,求直線AB的函數(shù)表達式.
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【題目】如圖,在坐標平面內(nèi),點O是坐標原點,A(0,6),B(2,0),且∠OBA=60°,將△OAB沿直線AB翻折,得到△CAB,點O與點C對應.
(1)求點C的坐標:
(2)動點P從點O出發(fā),以2個單位長度/秒的速度沿線段OA向終點A運動,設△POB的面積為S(S≠0),點P的運動時間為t秒,求S與t的關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍.
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【題目】A,B兩地相距80km,甲、乙兩人騎車同時分別從A,B兩地相向而行,假設他們都保持勻速行駛,則他們各自到A地的距離s(km)都是騎車時間t(h)的一次函數(shù),如圖所示.
(1)求乙的s乙與t之間的解析式;
(2)經(jīng)過多長時間甲乙兩人相距10km?
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【題目】將一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如圖1擺放,點D為AB邊的中點,DE交AC于點P,DF經(jīng)過點C,且BC=2.
(1)求證:△ADC∽△APD;
(2)求△APD的面積;
(3)如圖2,將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<60°),此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′,DE′交AC于點M,DF′交BC于點N,試判斷的值是否隨著α的變化而變化?如果不變,請求出的值;反之,請說明理由.
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