Question

【題目】已知二次函數(shù)．

（1）甲說：該二次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過點．乙說：若圖象的頂點在x軸上，則，你覺得他們的結(jié)論對嗎？請說明理由；

（2）若拋物線經(jīng)過，，求證；

（3）甲問乙：“我取的k是一個整數(shù)，畫出它的圖象后發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸的一個交點在y軸右側(cè)，一個交點在原點和之間，你知道k等于幾嗎？并求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）甲，乙的結(jié)論都錯誤，理由見解析；（2）證明見解析；（3）k=1

【解析】

（1）把函數(shù)表達式變形為y+3x2=k（x2-2x+6），求出當x=-2，y=-12時，，，可得結(jié)論；根據(jù)拋物線的頂點在x軸上得頂點的縱坐標為0從而可得k的值；

（2）將點P，Q的坐標分別代入二次函數(shù)解析式，得到含k的表達式，進行乘積運算，最后進行配方即可得到結(jié)論；

（3）分和 兩種情況分類討論：當時，，求得，此時無整數(shù)k；當時，根據(jù)以及拋物線與x軸的一個交點在原點和之間可求得，從而求得整數(shù)k的值.

（1）∵

∴

當x=-2，y=-12時，，，

故該二次函數(shù)的圖象不是必經(jīng)過點，

因此，甲的結(jié)論不正確；

對于函數(shù)的頂點坐標為：（， ），

∵圖象的頂點在x軸上，

∴

解得，，，

因此，圖象的頂點在x軸上，則k=0或；

故乙的結(jié)論錯誤；

（2）把，分別代入得，

，，

∴，

∵

∴；

（3）分兩種情況：

（i）當時，即，由拋物線與x軸有兩個交點得，

解得，，

∴，

∴不存在整數(shù)k；

（ii）當時，即，此時， ，

∴，

∵拋物線與x軸的一個交點在原點和之間，

∴當x=-3時，y=，

解得，，

∴，

∴整數(shù)k=1.