Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（5，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E．
①當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
②是否存在點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形？若存在請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B（4，m）在直線y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5

（2）

解：①設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

則PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

當(dāng)﹣x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=﹣1或x=2，但當(dāng)x=﹣1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（2，9）；

當(dāng)﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）時(shí)，解得x=﹣1或x=6，但當(dāng)x=﹣1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，﹣7）；

②設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE= = |x﹣4|，CE= = ，BC= = ，

當(dāng)△BEC為等腰三角形時(shí)，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，

當(dāng)BE=CE時(shí)，則 |x﹣4|= ，解得x= ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；

當(dāng)BE=BC時(shí)，則 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）；

當(dāng)CE=BC時(shí)，則 = ，解得x=0或x=4，當(dāng)x=4時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（ ， ）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）或（0，5）

【解析】（1）由直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）①可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；②由E、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．