Question

（11分）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E，F(xiàn) 分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM；

（2）當AE=1時，求EF的長.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）EF=

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；

（2）由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．

試題解析：（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三點共線，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，

，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF；

（2）設EF=MF=x，

∵AE=CM=1，且BC=3，

∴BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，

∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即22+（4﹣x）2=x2，

解得：x=，

則EF=．

考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.勾股定理；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

考點分析： 考點1：四邊形 四邊形：四邊形的初中數(shù)學中考中的重點內(nèi)容之一，分值一般為10-14分，題型以選擇，填空，解答證明或融合在綜合題目中為主，難易度為中。主要考察內(nèi)容：①多邊形的內(nèi)角和，外角和等問題②圖形的鑲嵌問題③平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性質(zhì)和判定。突破方法：①掌握多邊形，四邊形的性質(zhì)和判定方法。熟記各項公式。②注意利用四邊形的性質(zhì)進行有關四邊形的證明。③注意開放性題目的解答，多種情況分析。 試題屬性

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