【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(29),與y軸交于點(diǎn)A(0,5),與x軸交于點(diǎn)E,B

1)求二次函數(shù)yax2+bx+c的解析式;

2)過(guò)點(diǎn)AAC平行于x軸,交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)PAC上方),作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí),線段PD最長(zhǎng)?并求出最大值;

3)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在其對(duì)稱(chēng)軸上,使得以A,E,N,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)M的坐標(biāo).(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)

【答案】1y=﹣x2+4x+5;(2x時(shí),PD的最大值為;(3)點(diǎn)M(3,8)(18)

【解析】

1)設(shè)出拋物線解析式,用待定系數(shù)法求解即可;

2)先求出直線AB解析式,設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)(x,﹣x2+4x+5),建立PD的函數(shù)關(guān)系式,即可求解;

3)方法1、先判斷出△HMN≌△AOE,求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

方法2、四邊形AENM是平行四邊形時(shí),由于知道點(diǎn)E和點(diǎn)N的橫坐標(biāo),進(jìn)而得出點(diǎn)E平移到點(diǎn)N時(shí),先向右平移3單位,進(jìn)而判斷出點(diǎn)A到點(diǎn)M向右先平移3個(gè)單位,求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo),判斷出點(diǎn)A再向上平移3個(gè)單位得出點(diǎn)M,即可求出點(diǎn)N坐標(biāo);四邊形AEMN是平行四邊形時(shí),同上方法即可得出結(jié)論

解:(1)設(shè)拋物線解析式為yax22+9,

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A05),

4a+95

a=﹣1,

y=﹣(x22+9=﹣x2+4x+5,

2)當(dāng)y0時(shí),﹣x2+4x+50,

x1=﹣1,x25

E(﹣10),B5,0),

設(shè)直線AB的解析式為ymx+n,

A0,5),B5,0),

m=﹣1,n5

∴直線AB的解析式為y=﹣x+5;

設(shè)Px,﹣x2+4x+5),

Dx,﹣x+5),

PD=﹣x2+4x+5+x5=﹣x2+5x,

x時(shí),PD的最大值為:;

3)方法1、如圖,

過(guò)MMH垂直于對(duì)稱(chēng)軸,垂足為H

MNAE,MNAE

∴△HMN≌△AOE,

HMOE1,

M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3x1,

當(dāng)x1時(shí),M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,

當(dāng)x3時(shí),M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,

M點(diǎn)的坐標(biāo)為M118)或M23,8),

A05),E(﹣1,0),

∴直線AE解析式為y5x+5,

MNAE,

MN的解析式為y5x+b,

∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸x2上,

N2,10+b),

AE2OA2+OE226

MNAE

MN2AE2,

MN2=(212+[8﹣(10+b]21+b+22

M點(diǎn)的坐標(biāo)為M11,8)或M23,8),

∴點(diǎn)M1,M2關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸x2對(duì)稱(chēng),

∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上,

M1NM2N,

1+b+2226,

b3,或b=﹣7,

10+b1310+b3

∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8)時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,13),

當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8)時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

方法2,如圖2

E(﹣1,0),A0,5),

∵拋物線的解析式為y=﹣(x22+9,

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,即:N'20

①當(dāng)以點(diǎn)A,EM,N組成的平行四邊形為四邊形AENM時(shí),

E(﹣1,0),點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,(N'2,0

∴點(diǎn)E到點(diǎn)N向右平移2﹣(﹣1)=3個(gè)單位,

∵四邊形AENM是平行四邊形,

∴點(diǎn)A向右也平移3個(gè)單位,

A0,5),

M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,即:M'35),

∵點(diǎn)M在拋物線上,

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣(322+98,

M38),即:點(diǎn)A再向上平移(853)個(gè)單位,

∴點(diǎn)N'再向上平移3個(gè)單位,得到點(diǎn)N2,3),

即:當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8)時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

②當(dāng)以點(diǎn)A,E,MN組成的平行四邊形為四邊形AEMN時(shí),

同①的方法得出,當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8)時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,13);

綜上,點(diǎn)M3,8)或(1,8).

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