Question

20．如圖，長方形ABCD中，P是AD上一動點，連接BP，過點A作BP的垂線，垂足為F，交BD于點E，交CD于點G．
（1）當(dāng)AB=AD，且P是AD的中點時，求證：AG=BP；
（2）在（1）的條件下，求$\frac{DE}{BE}$的值；
（3）類比探究：若AB=3AD，AD=2AP，$\frac{DE}{BE}$的值為$\frac{1}{18}$．（直接填答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BP⊥AG，AB=AD，四邊形ABCD是矩形，運用AAS判定△ABP≌△DAG，即可得出AG=BP；
（2）根據(jù)△ABP≌△DAG，得出AP=DG，再根據(jù)AP=$\frac{1}{2}$AD，即可得到DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，再根據(jù)AB∥CD，判定△DGE∽△BAE，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{1}{2}$；
（3）設(shè)AP=a，則AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，根據(jù)△ABP∽△DAG，即可求得$\frac{AP}{GD}$=$\frac{AB}{DA}$，得出DG=$\frac{1}{3}$a，再根據(jù)△DGE∽△BAE，運用相似三角形的性質(zhì)，得出$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{6a}$=$\frac{1}{18}$即可．

解答 解：（1）如圖，∵BP⊥AG，∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABP和△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠ADG=90°}\\{∠ABF=∠DAG}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DAG（AAS），
∴AG=BP；

（2）∵△ABP≌△DAG，
∴AP=DG，
∵AP=$\frac{1}{2}$AD，
∴DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB∥CD，
∴△DGE∽△BAE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{1}{2}$；

（3）設(shè)AP=a，則AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，
∵BP⊥AG，∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
又∵∠BAP=∠ADG，
∴△ABP∽△DAG，
∴$\frac{AP}{GD}$=$\frac{AB}{DA}$，即$\frac{a}{DG}$=$\frac{6a}{2a}$=3，
∴DG=$\frac{1}{3}$a，
∵AB∥GD，
∴△DGE∽△BAE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{6a}$=$\frac{1}{18}$．
故答案為：$\frac{1}{18}$．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的毆打與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊相等，以及相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行推導(dǎo)計算．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．