Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．

（1）弦AB=（結果保留根號）；
（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：解法一：∵∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D．

∴∠BOD=∠B+∠A+∠D．

又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，

∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，

∴∠BOD=2∠A=100°．

解法二：如圖，連接OA．

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D． …

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，…

∴∠BOD=2∠DAB=100°

【解析】（1）如圖，過O作OE⊥AB于E，

∴E是AB的中點，

在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，

∴OE=1，

∴BE= ，

∴AB=2BE=2 ；

【考點精析】關于本題考查的垂徑定理和圓周角定理，需要了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能得出正確答案．