【題目】如圖,四邊形是正方形,是等邊三角形,為對角線(不含點)上任意一點,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接、、.
(1)求證;
(2)①當點在何處時,的值最;
②當點在何處時,的值最小,并說明理由;
(3)當的最小值為時,求正方形的邊長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①當M點落在BD的中點時,A、M、C三點共線,AM+CM的值最小.②如圖,連接CE,當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小.理由見解析;(3).
【解析】
(1)由題意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易證出△AMB≌△ENB;
(2)①根據(jù)“兩點之間線段最短”,可得,當M點落在BD的中點時,AM+CM的值最小;
②根據(jù)“兩點之間線段最短”,當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(如圖);
(3)作輔助線,過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F,由題意求出∠EBF=30°,設(shè)正方形的邊長為x,在Rt△EFC中,根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為.
(1)證明:∵△ABE是等邊三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2)解:①當M點落在BD的中點時,A、M、C三點共線,AM+CM的值最。谌鐖D,連接CE,當M點位于BD與CE的交點處時,
AM+BM+CM的值最。
理由如下:連接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根據(jù)“兩點之間線段最短”可知,若E、N、M、C在同一條直線上時,EN+MN+CM取得最小值,最小值為EC.
在△ABM和△CBM中,
,
∴△ABM≌△CBM,
∴∠BAM=∠BCM,
∴∠BCM=∠BEN,
∵EB=CB,
∴若連接EC,則∠BEC=∠BCE,
∵∠BCM=∠BCE,∠BEN=∠BEC,
∴M、N可以同時在直線EC上.
∴當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長.
(3)解:過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F,
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
設(shè)正方形的邊長為x,則BF=x,EF= .
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴()2+(x+x)2=(+1)2.
解得x1=,x2=-(舍去負值).
∴正方形的邊長為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中有兩點、,我們定義、兩點間的“值”直角距離為,且滿足,其中.小靜和佳佳在解決問題:(求點與點的“1值”直角距離)時,采用了兩種不同的方法:
(方法一):;
(方法二):如圖1,過點作軸于點,過點作直線與軸交于點,則
請你參照以上兩種方法,解決下列問題:
(1)已知點,點,則、兩點間的“2值”直角距離.
(2)函數(shù)的圖像如圖2所示,點為其圖像上一動點,滿足兩點間的“值”直角距離,且符合條件的點有且僅有一個,求出符合條件的“值”和點坐標.
(3)城市的許多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直線行走到達目的地,只能按直角拐彎的方式行走,因此,兩地之間修建垂直和平行的街道常常轉(zhuǎn)化為兩點間的“值”直角距離,地位于地的正東方向上,地在點東北方向上且相距,以為圓心修建了一個半徑為的圓形濕地公園,現(xiàn)在要在公園和地之間修建觀光步道.步道只能東西或者南北走向,并且東西方向每千米成本是20萬元,南北方向每千米的成本是10萬元,問:修建這一規(guī)光步道至少要多少萬元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形是的內(nèi)接四邊形,,,垂足為.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點在的延長線上,且,連接、,求證:;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若,,求的值.
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【題目】甲、乙兩人加工同一種零件,甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的 1.5 倍,兩人各加工 600 個這種零件,甲比乙少用 5 天.
(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件?
(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是 150 元和 120 元,現(xiàn)有 3000 個這種零件的加工任務(wù),甲單獨加工一段時間后另有安排,剩余任務(wù)由乙單獨完成.如果總加工費不超過 7800 元,那么甲至少加工了多少天?
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【題目】如圖,將長方形紙片ABCD折疊,使邊DC落在對角線AC上,折痕為CE,且D點落在對角線D′處.若AB=3,AD=4,則ED的長為
A. B.3 C.1 D.
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【題目】為響應(yīng)市政府關(guān)于“垃圾不落地,市區(qū)更美麗”的主題宣傳活動,某校隨機調(diào)查了部分學生對垃圾分類知識的了解情況,對該校部分學生進行了問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為四類(其中類表示“非常了解”,類表示“比較了解”,類表示“基本了解”,類表示“不太了解”).根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.請解答下列問題:
了解程度 | 人數(shù)(人) | 所占百分比 |
, .
補全條形統(tǒng)計圖;
若該校共有學生人,估計該校對垃圾分類知識“非常了解”的有多少人?
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【題目】已知:如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D在斜邊AB上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E,F.
(1)當∠ACD=∠BCD時,求證:四邊形DECF是正方形;
(2)當∠BCD=∠A時,求證:.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2.若=﹣1,則k的值為_____.
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【題目】如圖,在邊長為2的正方形中,為的中點,為邊上一動點,設(shè),線段的垂直平分線分別交邊、于點、,過作于點,過作于點.
(1)當時,求證:;
(2)順次連接、、、,設(shè)四邊形的面積為,求出與自變量之間的函數(shù)關(guān)系式,并求的最小值.
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