Question

【題目】若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及其頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則稱(chēng)該拋物線為“等邊拋物線”．

（1）判斷拋物線C1：y＝x2﹣2x是否為“等邊拋物線”？如果是，求出它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由．

（2）若拋物線C2：y＝ax2+2x+c為“等邊拋物線”，求ac的值；

（3）對(duì)于“等邊拋物線”C3：y＝x2+bx+c，當(dāng)1＜x＜m時(shí)，二次函數(shù)C3的圖象落在一次函數(shù)y＝x圖象的下方，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”；對(duì)稱(chēng)軸x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）；（2）ac＝﹣2；（3）m的最大值為6．

【解析】

（1）根據(jù)“等邊拋物線”的定義得到拋物線C1：y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”；然后根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)等邊拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣，）知＝，據(jù)此求解可得；

（3）依照（2）的方法推出b2﹣4ac＝12知c＝，結(jié)合等邊拋物線過(guò)（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依據(jù)對(duì)稱(chēng)軸位置得b＝﹣6，聯(lián)立，求得x＝1或x＝6，從而得出答案．

（1）拋物線y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”．對(duì)稱(chēng)軸x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）．理由如下：

由y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）知，該拋物線與x軸的交點(diǎn)是（0，0），（4，0）．

又因?yàn)?/span>y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，

所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣2）．

∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及其頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，

∴拋物線y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”．

對(duì)稱(chēng)軸x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）；

（2）設(shè)等邊拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x1，0），B（x2，0），

令y＝ax2+bx+c＝0，

∴x＝，

∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．

又∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），

∴＝．

∵4﹣4ac≠0，

∴||＝，

∴ac/span>＝﹣2；

（3）設(shè)等邊拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x1，0），B（x2，0），

令y＝ax2+bx+c＝0，

∴x＝，

∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|=

又∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴.

∵，

∴，

得b2﹣4c＝12，

∴c＝，

∴C3：y＝x2+bx+，

∵1＜x＜m時(shí)，總存在實(shí)數(shù)b，使二次函數(shù)C3的圖象在一次函數(shù)y＝x圖象的下方，即拋物線與直線有一個(gè)交點(diǎn)為（1，1），

∴該等邊拋物線過(guò)（1，1），

∴1+b+＝1，

解得b＝﹣6或b＝2，

又對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝﹣＞1，

∴b＜﹣2，

∴b＝﹣6，

∴y＝x2﹣6x+6，

聯(lián)立，

解得x＝1或x＝6，

∴m的最大值為6．