Question

【題目】背景閱讀　早在三千多年前，我國周朝數(shù)學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五．它被記載于我國古代著名數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，在本題中，我們把三邊的比為3∶4∶5的三角形稱為(3，4，5)型三角形，例如：三邊長分別為9，12，15的三角形就是(3，4，5)型三角形，用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形．

實踐操作　如圖①，在矩形紙片ABCD中，AD＝8 cm，AB＝12 cm.

第一步：如圖②，將圖①中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平．

第二步：如圖③，將圖②中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF.

第三步：如圖④，將圖③中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平．

問題解決

(1)請在圖②中證明四邊形AEFD是正方形；

(2)請在圖④中判斷NF與ND′的數(shù)量關系，并加以證明；

(3)請在圖④中證明△AEN是(3，4，5)型三角形．

　　　　

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)NF＝ND′(3)證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠D=∠DAE=90°，由折疊的性質(zhì)得得到AE=AD，∠AEF=∠D=90°，求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°，得到四邊形AEFD是矩形，由于AE=AD，于是得到結(jié)論；

（2）連接HN，由折疊的性質(zhì)得到∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，根據(jù)正方形的想知道的∠HD′N=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=EF=AD=8cm，由折疊得，AD′=AD=8cm，設NF=xcm，則ND′=xcm，根據(jù)勾股定理列方程得到x=2，于是得到結(jié)論；

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠DAE＝90°.

由折疊的性質(zhì)得AE＝AD，∠AEF＝∠D＝90°，∴∠D＝∠DAE＝∠AEF＝90°，

∴四邊形AEFD是矩形．

又∵AE＝AD，∴矩形AEFD是正方形．

(2)NF＝ND′.

證明：連接HN，由折疊的性質(zhì)得∠AD′H＝∠D＝90°，HF＝HD＝HD′.

由(1)知四邊形AEFD是正方形，∴∠EFD＝90°.

∵∠AD′H＝90°，∴∠HD′N＝90°.

在Rt△HNF和Rt△HND′中，

∵HN＝HN，HF＝HD′，

∴Rt△HNF≌Rt△HND′，

∴NF＝ND′.

(3)證明：由(1)知四邊形AEFD是正方形，

∴AE＝EF＝AD＝8 cm，

由折疊的性質(zhì)得AD′＝AD＝8 cm.

設NF＝x cm，則ND′＝x cm.

在Rt△AEN中，∵AN2＝AE2＋EN2，∴(8＋x)2＝82＋(8－x)2，解得x＝2，∴AN＝8＋x＝10 cm，EN＝6 cm，∴EN∶AE∶AN＝3∶4∶5，∴△AEN是(3，4，5)型三角形．