Question

【題目】中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，奠定了中國(guó)圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位．劉徽提出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”，由此求得圓周率的近似值．如圖，設(shè)半徑為的圓內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，圓的直徑為，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______．（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】3.11

【解析】

圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個(gè)等腰三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得C＝24r·sin15°，d＝2r，進(jìn)而得到答案．

解：如圖，圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成12個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為30°，即∠AOB＝30°，

作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠AOH＝15°，

∵AO＝BO＝r，

在Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，

∴AH＝r·sin15°，AB＝2AH＝2r·sin15°，

∴C＝12·2r·sin15°＝24r·sin15°，

又∵d＝2r，

∴，

故答案為：3.11．