Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0,4），若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求△ABC的外接圓圓心坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2) 圓心坐標(biāo)為（3,0）;(3)見解析.

【解析】分析：

（1）將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式列出關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b、c的值即可得到所求解析式；

（2）由（1）中所得解析式先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求得線段AC、BC、AB的長，由勾股定理的逆定理證得∠ACB=90°，由此即可得到△ABC的外心是斜邊AB的中點(diǎn)，由此即可得到所求坐標(biāo)；

（3）由（1）中所得拋物線的解析式可求得拋物線的對稱軸為直線x=3，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，t），結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可將AC、AQ和CQ的長度表達(dá)出來，然后分AQ=CQ、AC=CQ和AQ=AC三種情況列出方程，解方程即可求得符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

詳解：

（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），C（0,4）

∴

解得：b=，c=4

∴拋物線解析式為；

（2）在中，令y=0，即，

整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0），

∴OA=2，OC=4，OB=8，AB=10，

∴

，

∴

∴△ABC是直角三角形，且，

∴△ABC的外接圓圓心在AB邊上的中點(diǎn)處，圓心坐標(biāo)為（3，0），

（3）∵，

∴拋物線的線的對稱軸為：x=3，

可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（0，4），

∴AC=，AQ=，CQ= ，

i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，

有，即25+t2=t2﹣8t+16+9，

解得t=0，

∴Q1（3，0）；

ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，

有，即，此方程無實(shí)數(shù)根，

∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；

iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，

有，即：t2﹣8t+5=0，

解得：t=4±，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）.