【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C(0,4),若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)求△ABC的外接圓圓心坐標(biāo);
(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2) 圓心坐標(biāo)為(3,0);(3)見(jiàn)解析.
【解析】分析:
(1)將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式列出關(guān)于b、c的方程組,解方程組求得b、c的值即可得到所求解析式;
(2)由(1)中所得解析式先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),再結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求得線(xiàn)段AC、BC、AB的長(zhǎng),由勾股定理的逆定理證得∠ACB=90°,由此即可得到△ABC的外心是斜邊AB的中點(diǎn),由此即可得到所求坐標(biāo);
(3)由(1)中所得拋物線(xiàn)的解析式可求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,t),結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可將AC、AQ和CQ的長(zhǎng)度表達(dá)出來(lái),然后分AQ=CQ、AC=CQ和AQ=AC三種情況列出方程,解方程即可求得符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
詳解:
(1)∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,0),C(0,4)
∴
解得:b=,c=4
∴拋物線(xiàn)解析式為;
(2)在中,令y=0,即,
整理得x2﹣6x﹣16=0,解得:x=8或x=﹣2,
∴A(﹣2,0),B(8,0),
∴OA=2,OC=4,OB=8,AB=10,
∴
,
∴
∴△ABC是直角三角形,且,
∴△ABC的外接圓圓心在AB邊上的中點(diǎn)處,圓心坐標(biāo)為(3,0),
(3)∵,
∴拋物線(xiàn)的線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為:x=3,
可設(shè)點(diǎn)Q(3,t),∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(0,4),
∴AC=,AQ=,CQ= ,
i)當(dāng)AQ=CQ時(shí),
有,即25+t2=t2﹣8t+16+9,
解得t=0,
∴Q1(3,0);
ii)當(dāng)AC=AQ時(shí),
有,即,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,
∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形;
iii)當(dāng)AC=CQ時(shí),
有,即:t2﹣8t+5=0,
解得:t=4±,
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為:Q2(3,4+),Q3(3,4﹣).
綜上所述,存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在CD、BC上,且BF=CE,連接BE、AF相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.BE=AF B.∠DAF=∠BEC C.∠AFB+∠BEC=90° D.AG⊥BE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題背景:如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),∠BAD=∠BAC=60°,于是;
遷移應(yīng)用:如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,連接BD.
(1)求證:△ADB≌△AEC;
(2)若AD=2,BD=3,請(qǐng)計(jì)算線(xiàn)段CD的長(zhǎng);
拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC內(nèi)作射線(xiàn)BM,作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F,連接CE,CF.
(3)證明:△CEF是等邊三角形;
(4)若AE=4,CE=1,求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算或化簡(jiǎn):
(1)10﹣(﹣5)+(﹣9)+6;
(2)﹣14﹣5×[2﹣(﹣3)2];
(3)﹣2+(﹣)×(﹣)+(﹣)×
(4)|π-4|+|3-π|.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC⊥BC,AD⊥DB,下列條件中: ①∠ABD=∠BAC;②∠DAB=∠CBA;③AD=BC;④∠DAC=∠CBD,能使△ABC≌△BAD的有_____(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校名學(xué)生參加的“漢字書(shū)寫(xiě)”大賽,為了解本次大賽的成績(jī),校團(tuán)委隨機(jī)抽取了其中名學(xué)生的成績(jī)(成績(jī)取整數(shù),總分分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
根據(jù)所給信息,解答下列問(wèn)題:
(1)_____,______;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖;
(3)這名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在______分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績(jī)?cè)?/span>分以上(包括分)為“優(yōu)”等,請(qǐng)你估計(jì)該校參加本次比賽的名學(xué)生中成績(jī)?yōu)?/span>“優(yōu)”等的有多少人。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn).
(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)為何值時(shí)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值;
(3)當(dāng)為何值時(shí)一次函數(shù)值大于比例函數(shù)的值;
(4)求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列兩個(gè)等式:,給出定義如下:我們稱(chēng)使等式a﹣b=2ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)a,b為“同心有理數(shù)對(duì)”,記為(a,b),如:數(shù)對(duì)(1,),(2,),都是“同心有理數(shù)對(duì)”.
(1)數(shù)對(duì)(﹣2,1),(3,)是 “同心有理數(shù)對(duì)”的是__________.
(2)若(a,3)是“同心有理數(shù)對(duì)”,求a的值;
(3)若(m,n)是“同心有理數(shù)對(duì)”,則(﹣n,﹣m) “同心有理數(shù)對(duì)”(填“是”或“不是”),說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng).
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