Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限．現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α＝45°，OE＝OA，求直線EF的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖3，若α為銳角，且tanα＝，當(dāng)EA⊥x軸時(shí)，正方形對(duì)角線EG與OF相交于點(diǎn)M，求線段AM的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸正半軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P，是否存在△OEP的兩邊之比為：1？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)直線EF的解析式為y＝x+8；(2)AM＝6；(3)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H,進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理求出OF的值,然后利用待定系數(shù)法,即可求出直線EF的解析式

(2)作MN⊥AM交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)△AEM≌△NOM,得到AE=ON=4,△AMN是等腰直角三角形,即可求出AM的長(zhǎng);

(3)根據(jù)點(diǎn)F落在y軸正半軸上,通過(guò)改變正方形的邊長(zhǎng),畫(huà)出直線AE與直線FG相交的點(diǎn)P,并判斷△OEP的其中兩邊之比能否為2:1,當(dāng)△OEP的其中兩邊之比為 :1時(shí),再通過(guò)分類討論確定出圖形,根據(jù)圖形性質(zhì),利用勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)

(1)∵OE＝OA＝8，α＝45°，

∴E(﹣4，4)，F(0，8)，

設(shè)直線EF的解析式為y＝kx+b，則有 ，

解得

∴直線EF的解析式為y＝x+8．

(2)如圖3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于K．

在Rt△AEO中，tan∠AOE＝，OA＝8，

∴AE＝4，

∵四邊形EOGF是正方形，

∴∠EMO＝90°，

∵∠EAO＝∠EMO＝90°，

∴E、A、O、M四點(diǎn)共圓，

∴∠EAM＝∠EOM＝45°，

∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，

∴MK＝MH，四邊形KAOM是正方形，

∵EM＝OM，

∴△MKE≌△MHO，

∴EK＝OH，

∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，

∴AH＝6，

∴AM＝AH＝6．

(3)如圖2中，設(shè)F(0，2a)，則E(﹣a，a)．

∵A(﹣8，0)，E(﹣a，a)，

∴直線AP的解析式為y＝，直線FG的解析式為y＝﹣x+2a，

由，

∴P()．

①當(dāng)PO＝ OE時(shí)，∴PO2＝2OE2，

則有：＝4a2，

解得a＝4或﹣4(舍棄)或0(舍棄)，

此時(shí)P(0，8)．

②當(dāng)PO＝PE時(shí)，則有：＝2[()2]，

解得：a＝4或12，

此時(shí)P(0，8)或(﹣24，48)，

③當(dāng)PE＝EO時(shí)，[()2]＝4a2，

解得a＝8或0(舍棄)，

∴P(﹣8，24)

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．