Question

【題目】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E為AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連結AD，下列說法：①∠BCE=∠ACD；②△ACD∽△BCE；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為.其中正確的結論是_________.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

①首先根據等腰三角形的性質得到∠ACB=∠DCE=45°，從而得到∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，進而得到結論：∠ECB=∠DCA正確；②利用兩組對應邊成比例，夾角相等的三角形相似證得結論△ADC∽△BEC即可；④證得△ADC∽△BEC后得到∠DAC=∠B=45°，從而得到∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC；③由④知：△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；由④的△BEC∽△ADC知：當AD最長時，BE也最長；故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=，AD=，故S梯形ABCD=（1+）×=，從而判定是否正確即可；

∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；

①∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；

即∠ECB=∠DCA；故①正確；

②==，

∴=；

由①知∠ECB=∠DCA，

∴△BEC∽△ADC；故②正確；

④由②得△BEC∽△ADC，

∴∠DAC=∠B=45°；

∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；

③由④知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；

∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；

∵∠ECA＜45°，

∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；

因此△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；

⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；

△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；

由④的△BEC∽△ADC知：當AD最長時，BE也最長；

故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=，AD=；

故S梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正確；

故正確的結論是①②④⑤，

故答案為：①②④⑤