Question

【題目】折紙與證明﹣﹣﹣用紙折出黃金分割點(diǎn)：

第一步：如圖(1)，先將一張正方形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的對(duì)角線BF.

第二步：如圖(2)，將AB邊折到BF上，得到折痕BG，試說(shuō)明點(diǎn)G為線段AD的黃金分割點(diǎn)（AG＞GD）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

連接GF，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，由折紙第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得出BF=，則A′F=﹣1．設(shè)AG=A'G=x，則GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根據(jù)勾股定理由GF不變得出A′F2+A′G2=DF2+DG2，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x=，即可說(shuō)明點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)．

如圖，連接GF，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則DF=．

在Rt△BCF中，BF==，

則A′F=BF﹣BA′=﹣1．

設(shè)AG=A′G=x，則GD=1﹣x，

在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，

即，

解得x=，

即點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)（AG＞GD）．